Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 5.10 - Ex. 7c

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desse livro

Determinar os máximos e mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados.

c) f x = 4 - 3 x + 3 x 2 ,   0 ,   3

Passo 1

Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função f de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

f x = 3 x 2 - 3 x + 4

f ' x = 6 x - 3

Passo 2

Agora que encontramos nossa derivada, igualando-a a zero, teremos:

f ' x = 6 x - 3 = 0

Esse resultado só é válido para:

6 x - 3 = 0

6 x = 3 ∴ x = 1 2

Sendo assim, x = 1 2 é um ponto crítico da nossa função! Ademais, como nosso intervalo foi estabelecido em 0 ,   3 e como acabamos de descobrir que x = 1 2 é um ponto crítico, vamos substituir esses valores na função para determinar os máximos e mínimos, saca só:

f 0 = 3.0 2 - 3.0 + 4 = 4

f 1 2 = 3 . 1 2 2 - 3 . 1 2 + 4 = 13 4

f 3 = 3.3 2 - 3.3 + 4 = 22

Portanto, pelos resultados:

Máximo da função ( x ,   y ) em 0 ,   3 : 3 ,   22 ;

Mínimo da função ( x ,   y ) em 0 ,   3 : 1 2 , 13 4 .

E estão aí nossos máximos e mínimos!

Resposta

Máximo da função ( x ,   y ) em 0 ,   3 : 3 ,   22 ;

Mínimo da função ( x ,   y ) em 0 ,   3 : 1 2 , 13 4 .

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