Máximos e Mínimos

Teoria Completa

Introdução

Chegou a hora de falar de máximos e mínimos, eles serão fundamentais para problemas de otimização, então fique bem ligado!

Antes de tudo, o que são esses pontos? Um ponto de máximo é um ponto na função que é maior que os pontos próximos a ele. Em um gráfico, é como se tivéssemos o topo de uma colina:

Já um ponto de mínimo parece mais um buraco, daqueles que furam o pneu do carro:

Como achar pontos de máximo e mínimo

Ok, no gráfico dá para entender bonitinho, mas como calcula isso???

Pra entender isso melhor a gente vai ter que perceber uma coisa que tanto pontos de máximo quanto pontos de mínimo têm em comum. Dá uma olhada no gráfico da função y = 3 x 3 - 9 x :

Se a gente olhar com calma, vamos perceber que tanto pra pontos de máximo quanto pra pontos de mínimo a reta tangente à eles é horizontal, ou sejaaaa, o coeficiente angular delas é zero.

Mas o que isso significa na prática?

Lembra que o coeficiente angular da reta tangente à um ponto é justamente a derivada da curva naquele ponto? Opaaa, então a gente acabou de chegar a conclusão de que para pontos de máximo e mínimo, a derivada da curva é nula naquele ponto, ou seja, se em x = c temos um ponto de máximo ou de mínimo:

f ' c = 0

Pode ser que você não se lembre, mas já vimos o que são os pontos onde a derivada é zero ou não existe: são os pontos críticos. Assim, pontos de máximo ou mínimo sempre serão pontos críticos.

No caso da função que a gente colocou ali em cima, y = 3 x 3 - 9 x , se quisermos descobrir esses pontos bastaria a gente derivar a expressão:

f x ' = ( 3 x 3 - 9 x ) '

f x ' = ( 3 x 3 ) ' - ( 9 x ) '

f x ' = 9 x 2 - 9

E igualar a derivada a 0:

9 x 2 - 9 = 0

9 x 2 = 9

x 2 = 1

Então, descobrimos que temos pontos críticos em x = - 1 e x = 1 , pois a reta tangente à curva nesses pontos é nula.

Teste da primeira derivada

Ok, sabemos que os pontos críticos podem ser pontos de pico, mas como ter certeza e diferenciar máximos de mínimos?

Para máximos, a derivada de valores a esquerda é positiva e a derivada de valores a direita é negativa. Pense nas derivadas como o coeficiente angular da reta tangente à curva: a esquerda do ponto a reta tangente é crescente, então a derivada é positiva, já a direita do ponto a reta tangente é decrescente, então a derivada é negativa.

Para mínimos, podemos usar o mesmo raciocínio, e aí vamos ter o contrário: a derivada de valores a esquerda é negativa, já a derivada de valores a direita é positiva.

Por exemplo, se temos a função y = x 2 e fizermos o esquema de derivar e igualar a zero, vamos chegar nisso:

f ' x = ( x 2 ) ' = 2 x

2 x = 0

x = 0

Então x = 0 é o nosso ponto crítico, pra ver se ele é ponto de máximo ou de mínimo vamos descobrir os sinais das derivadas a direita e a esquerda dele. Para isso, vamos usar x = 1   e x = - 1   na derivada que encontramos ali em cima:

f ' 1 = 2 1 = 2

Então, f ' 1 > 0 , ou seja, a direita de x = 0 a derivada é positiva.

Substituindo agora x = - 1 na derivada:

f ' - 1 = 2 - 1 = - 2

Então, f ' - 1 < 0 , ou seja, a esquerda de x = 0 a derivada é negativa.

Opa! Então, nó temos um ponto de mínimo. Pois, a esquerda de x = 0 a reta tangente à curva é decrescente ( f ' - 1 = - 2 ) e a direita de x = 0 a reta tangente à curva é crescente ( f ' 1 = 2 ).

Top rapeize, parece então que para determinarmos se um ponto é mínimo ou máximo devemos analisar os sinais das derivadas de pontos próximos aos pontos críticos. Esse teste é chamado de teste da primeira derivada:

Cuidado! ao escolher valores de referência à esquerda e à direita de um ponto crítico, tenha certeza de que eles não passem por nenhum outro ponto crítico 😉.

Teste da segunda derivada

Outro teste que pode ser usado para diferenciar pontos de máximo e pontos de mínimo é o teste da segunda derivada.

Em pontos de máximo a concavidade da função aponta para baixo, olha só:

Já em pontos de mínimo, a concavidade aponta para cima, se liga aqui:

Quando a gente fala sobre concavidade, estamos falando sobre a tal da segunda derivada lembra? Então, se a gente for escrever o teste da segunda derivada bonitinho, fica mais ou menos assim ó:

A vantagem do teste da segunda derivada é que você só precisa determinar seu sinal no ponto crítico. A desvantagem é que você tem que derivar a função de novo.

Máximos e mínimos locais ou globais

Nem sempre que achamos um máximo da função, esse vai ser exatamente o maior valor que a função pode assumir e o mesmo vale para mínimos. Olha só essa função que a gente viu lá no início:

Tínhamos achado que para x = - 1 teríamos um máximo, mas se olharmos pelo gráfico conseguimos ver que a função pode atingir valores maiores, é só pegar um x um pouco maior:

f x = 3 x 3 - 9 x

f 3 = 3 3 3 - 9 3

f 3 = 3 27 - 27 = 81 - 27 = 54

Comparando com o nosso ponto de máximo:

f - 1 = 3 - 1 3 - 9 ( - 1 )

f - 1 = 3 - 1 + 9

f - 1 = - 3 + 9 = 6

Fica ainda mais fácil de perceber que o ponto de máximo x = - 1 não reflete o maior valor que a função f pode assumir, né?

Nesses casos, falamos que os pontos que nós achamos, são na verdade pontos de máximo e mínimo locais. Caso de fato eles sejam os maiores ou menores valores que a função assuma, nós os chamaremos de máximos e mínimos globais ou absolutos.

Para determinar se esses caras são globais ou locais, devemos sempre ficar de olho nos extremos da nossa função. Olha aqui esse exemplo de uma função definida no intervalo [ a , b ]:

Repare que, se quiséssemos achar um ponto de máximo ou mínimo, derivando a função e realizando os testes das derivadas, iríamos achar os pontos c e d , sendo c um mínimo e d um máximo.

Porém, o ponto d NÃO é o ponto de máximo global, mas sim o ponto a , no extremo do intervalo analisado. Por isso, é importante testar f ( a ) e f ( b ) (extremos do intervalo) e compará-los com f no ponto crítico anteriormente encontrado.

Show de bolinhas, né? Agora partiu para os exercícios!

Exercício Resolvido #1

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 299-1. MODIFICADO

Identifique os pontos de máximo e mínimo e de inflexão da função abaixo.

y = x 3 3 - x 2 2 - 2 x + 1 3

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Passo 1

Os pontos de máximo e mínimo são pontos críticos. Para encontrá-los, vamos primeiro derivar a função:

y ' = x ² - x - 2

Passo 2

Os pontos críticos estão localizados onde a derivada não existe ou é zero. Essa derivada é um polinômio, então vai sempre existir. Vamos ver quando ela será zero:

x ² - x - 2 = 0

Por Bhaskara:

x 1 = - b + b 2 - 4 a c 2 a = 1 + 1 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( - 2 ) 2 ⋅ 1 = 1 + 1 + 8 2 = 1 + 3 2 = 2

Da mesma maneira:

x 2 = 1 - 3 2 = - 1

Esses serão os pontos críticos da função. Antes de determinar se são pontos de máximo ou mínimo, vamos calcular os pontos de inflexão.

Passo 3

Os pontos de inflexão ocorrem quando a segunda derivada não existe ou é zero. Para isso, derivamos a função novamente:

y ' ' = 2 x - 1

Por se tratar de um polinômio, a segunda derivada sempre existirá. Será zero quando:

2 x - 1 = 0 ⟹ x = 1 2

Este será nosso ponto de inflexão.

Passo 4

Voltamos agora aos pontos críticos para determinar qual é máximo e qual é mínimo. Cara, por que você deu volta e não seguiu com isso antes? Porque, ao calcular os pontos de inflexão, nós calculamos a segunda derivada da função. E com a segunda derivada fica muito mais fácil encontrar os pontos de máximo e mínimo.

Só precisamos aplicar o teste da segunda derivada. Nos pontos críticos:

f ' ' x 1 = f ' ' 2 = 2 ⋅ 2 - 1 = 3 > 0

Como a segunda derivada é positiva, trata-se de um ponto de mínimo.

Para o segundo ponto crítico:

f ' ' x 2 = f ' ' - 1 = 2 ⋅ - 1 - 1 = - 3 < 0

Como a segunda derivada é negativa, trata-se de um ponto de máximo.

Toda vez que a gente quer encontrar um ponto de máximo ou mínimo, você deve optar em aplicar o teste da segunda ou da primeira derivada. Quando a segunda derivada é fácil de calcular, foi dada, ou você já vai ter que calculá-la de qualquer forma, opte pelo teste da segunda derivada, que é mais rápido.

Se fossemos aplicar o teste da primeira derivada aqui. Deveríamos escolher um ponto a esquerda e direita do ponto crítico, sem nunca extrapolar um ponto crítico que não é o que gente está tratando.

Para x 1 = 2 . Podemos escolher x = 0 e x = 3 :

f ' 0 = 0 - 0 - 2 < 0 ; f ' 3 = 3 2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 > 0

Como é negativo à esquerda e positivo à direita, temos, como antes, um ponto de mínimo.

Para x 2 = - 1 . Podemos escolher x = - 2 e x = 0

f ' - 2 = - 2 2 + 2 - 2 = 4 > 0 ; f ' 0 < 0

Como é positivo à esquerda e negativo à direita, temos, como antes, um ponto de máximo, como no gráfico:

Resposta

Mínimo: x = 2 ; Máximo: x = - 1 . Inflexão: x = 1 / 2 .

Exercício Resolvido #2

UFRJ - Cálculo 1 - PF 2015.1 – 3

Considere o polinômio y = A x 3 + 6 x 2 - B x , onde A e B são constantes reais. É possível determinar valores para A e B tais que o gráfico de y tem um ponto de máximo local quando x = - 1 e um ponto de inflexão quando x = 1 ?

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Passo 1

O que significa matematicamente para um gráfico de polinômio ter um máximo local? E um ponto de inflexão? Lembra, os máximos locais são pontos onde a derivada muda de sinal, o que significa que neles a derivada é nula ou não existe no ponto. Nos pontos de inflexão quem é nula ou não existe é a derivada segunda.

Basicamente, o que a questão nos fala é que ela quer:

y ' - 1 = 0

y ' ' 1 = 0

Passo 2

E como é a equação de y ' e de y ' ' ? Vamos derivar para descobrir!

y ' x = A x 3 ' + 6 x 2 ' - B x '

= 3 A x 2 + 12 x - B

y ' ' x = 3 A x 2 ' + 12 x ' - B '

= 6 A x + 12

Passo 3

Substituindo os pontos que a questão falou:

y ' - 1 = 3 A - 1 2 + 12 - 1 - B = 0

3 A - B = 12

y ' ' 1 = 6 A 1 + 12 = 0

6 A = - 12

Agora basta resolver o sistema que esses caras geraram:

3 A - B = 12 6 A = - 12

A = - 2     ;     B = - 18

Passo 4

Se x = - 1 for um máximo, a derivada é positiva antes e negativa depois. Sendo assim, vamos descobrir os pontos em que a derivada é nula!

y = - 2 x 3 + 6 x 2 + 18 x

y ' = - 6 x 2 + 12 x + 18

Como y ' nada mais é do que uma função do 2º grau, nós podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para calcularmos suas raízes. Começando pelo , temos:

∆ = b 2 - 4 * a * c

∆ = 144 - 4 ( - 6 ) ( 18 )

∆ = 144 + 432

∆ = 576

Aplicando o valor que descobrimos para na segunda parte da fórmula:

x = - b ± ∆ 2 a

x = - 12 ± 24 - 12

x = 1 ± 2

Como a concavidade é para baixo, a derivada será positiva entre -1 e 3 e negativa para x < - 1 e x > 3 . Então, x = - 1 é um ponto de mínimo!

Resposta

Portanto, não é possível.

Exercício Resolvido #3

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education Ltda, 2009, pp. 291-21. MODIFICADO

Sendo:

g x = x 8 - x ²

a ) Encontre os intervalos onde a função é crescente e decrescente.

b ) Em seguida, identifique os valores extremos locais da função, se houve, informando onde ela os assume.

c ) Alguns desses valores extremos são absolutos? Quais?

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Passo 1

a ) Para encontrar onde a função cresce ou decresce, devemos encontrar as raízes da derivada ou determinar quando ela não existe e testar valores à esquerda e à direita desses pontos. Resumindo, aplicamos o teste CD.

Para tal, vamos derivar. Usando a regra do produto: g ' x = 8 - x 2 + x ⋅ - 2 x 2 8 - x 2 = 8 - x 2 - x 2 8 - x 2 = 8 - x 2 - x ² 8 - x 2

g ' x = 8 - 2 x 2 8 - x 2

Passo 2

As raízes vão ser determinadas pelos numeradores:

8 - 2 x 2 = 0 ⟹ x 2 = 4 ⟹ x = ± 2

E não vai existir para quando:

8 - x 2 = 0 ⟹ x = ± 2 2

Passo 3

Agora, vamos testar valores à esquerda e à direita:

Para x = - 2 , podemos escolher x = - 5 / 2 e x = 0 :

f ' - 5 / 2 = 8 - 2 - 5 / 2 2   8 - - 5 / 2 2 = 8 - 25 / 2 8 - 25 / 4 = - 9 / 2 ( 32 - 25 ) / 4 < 0

f ' 0 = 8 - 0 8 - 0   > 0

Então a derivada é negativa à esquerda e positiva à direta de x = - 2 .

Para x = 2 , podemos escolher x = 0 e x = 5 / 2 :

f ' ( 0 ) > 0

f ' 5 / 2 = 8 - 2 5 / 2 2   8 - 5 / 2 2 < 0

Então a derivada é positiva à esquerda e negativa à direta de x = 2 .

Para x = - 2 2 , não há valores à esquerda, pois a derivada terá raiz negativa no denominador. Para valores à esquerda, já sabemos, pois:

f ' - 5 / 2 < 0

Para x = 2 2 , não há também valores à direita, pelo mesmo motivo de cima. Para valores à esquerda, sabemos que:

f ' 5 / 2 < 0

Com todas essas informações. Temos que:

Função crescente para x ∈ ( - 2 ,   2 ) .

Função decrescente para x ∈ - 2 2 , - 2 ∪ ( 2,2 2 ) .

Passo 4

b ) Para acharmos máximos e mínimos, determinamos os pontos críticos que serão as raízes da derivada ou quando ela não existe. Já determinamos isso aí. Serão os pontos:

x = - 2 ; x = 2 ; x = 2 2 ; x = - 2 2

Já também testamos os sinais à esquerda e à direita de cada ponto, que é o teste da primeira derivada.

A derivada é negativa à esquerda e positiva à direta de x = - 2 . Então temos um ponto de mínimo aqui.

A derivada é positiva à esquerda e negativa à direta de x = 2 . Então temos um ponto de máximo aqui.

A derivada é negativa à direta de x = - 2 2 e não existe à esquerda

A derivada é negativa à esquerda de x = 2 2 e não existe à direita.

Vai ficar assim:

Passo 5

c ) Agora precisamos saber se são extremos locais ou absolutos. O ponto de máximo é:

x = 2  

Para x = 2 :

f 2 = 2 8 - 2 2 = 2 4 = 4

Para as fronteiras da função:

x = - 2 2 :

f - 2 2 = - 2 2 8 - - 2 2 2 = 0

x = 2 2 :

f 2 2 = 2 2 8 - 2 2 2 = 0

O ponto x = 2 é um ponto de máximo que é maior que os valores na fronteira. Então é um ponto de máximo global.

Se houvesse outros pontos de máximo, x = 2 também deveria ser maior que estes para ser máximo global.

Para o ponto de mínimo:

Para x = - 2 :

f - 2 = - 2 8 - - 2 2 = - 2 4 = - 4

O ponto x = - 2 é um ponto de mínimo que é menor que os valores na fronteira. Então é um ponto de mínimo global.

Se houvesse outros pontos de mínimo, x = - 2 também deveria ser menor que estes para ser mínimo global.

Resposta

a ) Função crescente para x ∈ ( - 2 ,   2 ) .

Função decrescente para x ∈ - 2 2 , - 2 ∪ ( 2,2 2 ) .

b ) A derivada é negativa à esquerda e positiva à direta de x = - 2 . Então temos um ponto de mínimo aqui.

A derivada é positiva à esquerda e negativa à direta de x = 2 . Então temos um ponto de máximo aqui.

c ) x = 2 é ponto de máximo global. x = - 2 é mínimo global.

Exercício Resolvido #4

UFF - Cálculo IA - P2 Sérgio Almaraz 2014.2 - 3ª
  1. Mostre que a função

f x = ln ⁡ x x

Possui um máximo absoluto em x = e

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Passo 1

Para ser máximo, o ponto deve ser crítico e a derivada tem que ser positiva à sua esquerda e negativa à sua direita. Para verificar isso, vamos derivar:

f ' x = x ln ⁡ x ' - [ x ] ' ln ⁡ ( x ) x ² = 1 - ln ⁡ ( x ) x 2

Passo 2

Verificamos se x = e é ponto crítico:

f ' e = 1 - ln ⁡ e x 2 =   0

A esquerda de x = e , temos e 1 / 2 :

f ' e 1 / 2 = 1 - ln ⁡ ( e 1 / 2 ) e = 1 - 1 / 2 e > 0

A direita de x = e , temos e 2 :

f ' e 2 = 1 - ln ⁡ ( e 2 ) e 4 = 1 - 2 e 4 < 0

É um ponto de máximo. Precisamos saber se é global.

Passo 3

Vai ser máximo global se for maior que outros pontos de máximo e maior que as fronteiras.

Não há outros pontos de máximo, pois, além de x = e , só x = 0 é ponto crítico. E não valores menores que x = 0 para testar, uma vez que não fazem parte do domínio (ln de valores negativos).

Temos que testar as fronteiras.

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ ( x ) x ⟹ - ∞ 0 ⟹ - ∞

E:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x ) x ⟹ ∞ ∞

Podemos aplicar L’Hôpital:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x ) x = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x ) ' [ x ] ' = lim x → ∞ ⁡ 1 / x 1 = 0

Assim, não existem valores maiores que:

f e = ln ⁡ ( e ) e = 1 e

Esse é, portanto, um ponto de máximo global ou absoluto.

Resposta

Como queríamos demonstrar.

Exercício Resolvido #5

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 291-40. MODIFICADO

Se:

k x = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 ,   - ∞ < x ≤ 0

a ) Identifique os valores extremos locais da função nos domínios dados e informe onde ela os assume.

b ) Alguns desses valores extremos são absolutos? Quais?

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Passo 1

Para determinar os pontos de máximo e mínimo, calculamos os pontos críticos, derivando:

k ' x = 3 x 2 + 6 x + 3 ,   - ∞ < x ≤ 0

Os pontos críticos estão localizados onde a derivada não existe ou é zero. Sempre vai existir pois é um polinômio. Será zero quando:

3 x 2 + 6 x + 3 = 0

Que tem raiz x = - 1 .

Passo 2

Vamos escolher valores à esquerda e à direita para aplicar o teste da primeira derivada.

Em x = - 1 , podemos escolher x = - 2 e x = 0 :

k ' - 2 = 3 - 2 2 + 6 - 2 + 3 = 12 - 12 + 3 > 0

k ' 0 = 0 + 0 + 3 > 0

A derivada é positiva a esquerda e a direita, então não é ponto de mínimo nem de máximo.

Passo 3

b ) Não há nada concluir.

Resposta

a ) Nem máximo, nem mínimo.

b ) Não há nada concluir.

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