Máximos e Mínimos

Teoria Completa

Introdução

Chegou a hora de falar de máximos e mínimos que serão fundamentais para problemas de otimização, então fique bem ligado!

Antes de tudo, o que são esses pontos? Um ponto de máximo é um ponto na função que é maior que os pontos próximos. Olhando para o gráfico, é como se tivéssemos o topo de uma colina:

Já um ponto de mínimo parece mais um buraco, daqueles que furam o pneu do carro:

Como achar pontos de máximo e mínimo

Ok, no gráfico dá para entender bonitinho, mas como calcula isso???

Pra entender isso melhor a gente vai ter que perceber uma coisa que tanto pontos de máximo quanto pontos de mínimo têm em comum. Da uma olhada no gráfico da função y = 3 x 3 - 9 x :

Se a gente olhar com calma, vamos perceber que tanto pra pontos de máximo quanto pra pontos de mínimo a reta tangente à eles é horizontal, ou sejaaaa, o coeficiente angular delas é zero. Mas o que isso significa na prática?

Lembra que o coeficiente angular da reta tangente à um ponto é justamente a derivada da curva naquele ponto? Opaaa, então a gente acabou de chegar a conclusão de que para pontos de máximo e mínimo, a derivada da curva é nula naquele ponto, ou seja, se em x = c temos um ponto de máximo ou de mínimo:

f ' c = 0

Pode ser que você não se lembre, mas já vimos o que são os pontos onde a derivada é zero ou não existe: são os pontos críticos. Assim, pontos de máximo ou mínimo sempre serão pontos críticos.

No caso da função que a gente colocou ali em cima, y = 3 x 3 - 9 x , se quisermos descobrir esses ponto bastaria a gente derivar a expressão e igualar a zero:

f ' x = 3 x 3 ' - 9 x ' = 0                  

      9 x 2 - 9 = 0

9 x 2 = 9

x 2 = 1  

  x = 1   o u   x = - 1

Então descobrimos que temos pontos críticos acontecem em   x = 1   e   x = - 1 .

Teste da primeira derivada

Ok, sabemos que os pontos críticos podem ser pontos de pico, mas como ter certeza e diferenciar máximo de mínimos?

Para pontos de máximo, a derivada de valores a esquerda é positiva e de valores a direita é negativa. Pense nas derivadas como sendo o coeficiente angular da reta tangente à curva: a esquerda do ponto a reta tangente é crescente então a derivada é positiva, a direita do ponto a reta tangente é decrescente então a derivada é negativa.

Para mínimos, podemos usar o mesmo raciocínio e aí vamos ter o contrário: a derivada de valores a esquerda é negativa, e de valores a direita positiva.

Por exemplo, se temos a função y = x 2 , e fizermos o esquema de derivar e igualar a zero vamos chegar nisso:

f ' x = ( x 2 ) ' = 2 x

2 x = 0

x = 0

Então x = 0 é o nosso ponto crítico, pra ver se ele é ponto de máximo ou de mínimo vamos descobrir os sinais das derivadas a direita e a esquerda dele. Para isso vamos usar x = 1   e x = - 1   na nossa função derivada f ' x = 2 x que encontramos ali em cima:

f ' 1 = 2 1 = 2                                                                           e n t ã o         f ' ( 1 ) > 0

f ' - 1 = 2 - 1 = - 2                                                         e n t ã o         f ' ( - 1 ) < 0

Opaa então a direita de x = 0 a derivada positiva e a esquerda é negativa. Logo x = 0 é um ponto de mínimo.

Top rapeize, parece então que para determinarmos o quê é o quê testamos os sinais das derivadas de pontos próximos dos pontos críticos. Esse teste é chamado de teste da primeira derivada:

Cuidado ao escolher valores de referência à esquerda ou à direita de um ponto crítico. Tenha certeza que eles não passem por nenhum outro ponto crítico 😉.

Teste da segunda derivada

Outro teste que pode ser usado para diferenciar pontos de máximo e pontos de mínimo é o teste da segunda derivada.

Em pontos de máximo a concavidade da função aponta para baixo, olha só:

Já em pontos de mínimo, a concavidade fica apontando para cima:

Quando a gente fala sobre concavidade, estamos falando sobre a tal da segunda derivada lembra? Então se a gente for escrever o teste da segunda derivada bonitinho, fica mais ou menos assim ó:

A vantagem do teste da segunda derivada é que você só precisa determinar seu sinal no ponto crítico. A desvantagem é que você tem que derivar a função de novo.

Máximos e mínimos locais ou globais

Nem sempre que achamos um máximo da função, esse vai ser exatamente o maior valor que a função pode assumir, e o mesmo vale para mínimos. Olha só essa função que a gente viu lá no início:

Tínhamos achado que para x = - 1 teríamos um máximo, mas se olharmos pelo gráfico conseguimos ver que a função pode atingir valores maiores, é só pegar um x bem grandão. E vale a mesma coisa pro ponto de mínimo.

Nesse caso falamos que os pontos que nós achamos são na verdade pontos de máximo e mínimo locais. Caso de fato eles sejam os maiores ou menos valores que função assuma, nós chamamos de máximos e mínimos globais ou absolutos.

Para determinar esses caras devemos sempre ficar de olho nas extremos da nossa função. Olha aqui esse exemplo de uma função definida no intervalo [ a , b ].

Repare que, se quiséssemos achar um ponto de máximo, derivando a função e a igualando a zero, iríamos achar os pontos c e d . Comparando-os, iríamos descobrir que o ponto d é um máximo.

Porém (!), o ponto d NÃO é o ponto de máximo global e, sim, o ponto a , extremo do intervalo analisado. Por isso é importante testar f ( a ) e f ( b ) ( a   e   b extremos do intervalo) e compará-los com f do ponto crítico achado antes. O melhor, ganha!

Show né? Agora partiu exercícios!

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Exercício Resolvido #1

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 299-1. MODIFICADO

Identifique os pontos de máximo e mínimo e de inflexão da função abaixo.

y = x 3 3 - x 2 2 - 2 x + 1 3

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Passo 1

Os pontos de máximo e mínimo são pontos críticos. Para encontrá-los, vamos primeiro derivar a função:

y ' = x ² - x - 2

Passo 2

Os pontos críticos estão localizados onde a derivada não existe ou é zero. Essa derivada é um polinômio, então vai sempre existir. Vamos ver quando ela será zero:

x ² - x - 2 = 0

Por Bhaskara:

x 1 = - b + b 2 - 4 a c 2 a = 1 + 1 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( - 2 ) 2 ⋅ 1 = 1 + 1 + 8 2 = 1 + 3 2 = 2

Da mesma maneira:

x 2 = 1 - 3 2 = - 1

Esses serão os pontos críticos da função. Antes de determinar se são pontos de máximo ou mínimo, vamos calcular os pontos de inflexão.

Passo 3

Os pontos de inflexão ocorrem quando a segunda derivada não existe ou é zero. Para isso, derivamos a função novamente:

y ' ' = 2 x - 1

Por se tratar de um polinômio, a segunda derivada sempre existirá. Será zero quando:

2 x - 1 = 0 ⟹ x = 1 2

Este será nosso ponto de inflexão.

Passo 4

Voltamos agora aos pontos críticos para determinar qual é máximo e qual é mínimo. Cara, por que você deu volta e não seguiu com isso antes? Porque, ao calcular os pontos de inflexão, nós calculamos a segunda derivada da função. E com a segunda derivada fica muito mais fácil encontrar os pontos de máximo e mínimo.

Só precisamos aplicar o teste da segunda derivada. Nos pontos críticos:

f ' ' x 1 = f ' ' 2 = 2 ⋅ 2 - 1 = 3 > 0

Como a segunda derivada é positiva, trata-se de um ponto de mínimo.

Para o segundo ponto crítico:

f ' ' x 2 = f ' ' - 1 = 2 ⋅ - 1 - 1 = - 3 < 0

Como a segunda derivada é negativa, trata-se de um ponto de máximo.

Toda vez que a gente quer encontrar um ponto de máximo ou mínimo, você deve optar em aplicar o teste da segunda ou da primeira derivada. Quando a segunda derivada é fácil de calcular, foi dada, ou você já vai ter que calculá-la de qualquer forma, opte pelo teste da segunda derivada, que é mais rápido.

Se fossemos aplicar o teste da primeira derivada aqui. Deveríamos escolher um ponto a esquerda e direita do ponto crítico, sem nunca extrapolar um ponto crítico que não é o que gente está tratando.

Para x 1 = 2 . Podemos escolher x = 0 e x = 3 :

f ' 0 = 0 - 0 - 2 < 0 ; f ' 3 = 3 2 - 3 - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 > 0

Como é negativo à esquerda e positivo à direita, temos, como antes, um ponto de mínimo.

Para x 2 = - 1 . Podemos escolher x = - 2 e x = 0

f ' - 2 = - 2 2 + 2 - 2 = 4 > 0 ; f ' 0 < 0

Como é positivo à esquerda e negativo à direita, temos, como antes, um ponto de máximo, como no gráfico:

Resposta

Mínimo: x = 2 ; Máximo: x = - 1 . Inflexão: x = 1 / 2 .

Exercício Resolvido #2

UFRJ - Cálculo 1 - PF 2015.1 – 3

Considere o polinômio y = A x 3 + 6 x 2 - B x , onde A e B são constantes reais. É possível determinar valores para A e B tais que o gráfico de y tem um ponto de máximo local quando x = - 1 e um ponto de inflexão quando x = 1 ?

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Passo 1

O que significa matematicamente para um gráfico de polinômio ter um máximo local? E um ponto de inflexão? Lembra, os máximos locais são pontos onde a derivada muda de sinal, o que significa que neles a derivada é nula ou não existe no ponto. Nos pontos de inflexão quem é nula ou não existe é a derivada segunda.

Basicamente, o que a questão nos fala é que ela quer:

y ' - 1 = 0

y ' ' 1 = 0

Passo 2

E como é a equação de y ' e de y ' ' ? Vamos derivar para descobrir!

y ' x = A x 3 ' + 6 x 2 ' - B x '

= 3 A x 2 + 12 x - B

y ' ' x = 3 A x 2 ' + 12 x ' - B '

= 6 A x + 12

Passo 3

Substituindo os pontos que a questão falou:

y ' - 1 = 3 A - 1 2 + 12 - 1 - B = 0

3 A - B = 12

y ' ' 1 = 6 A 1 + 12 = 0

6 A = - 12

Agora basta resolver o sistema que esses caras geraram:

3 A - B = 12 6 A = - 12

A = - 2     ;     B = - 18

Passo 4

Se x = - 1 for um máximo, a derivada é positiva antes e negativa depois. Sendo assim, vamos descobrir os pontos em que a derivada é nula!

y = - 2 x 3 + 6 x 2 + 18 x

y ' = - 6 x 2 + 12 x + 18

Como y ' nada mais é do que uma função do 2º grau, nós podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para calcularmos suas raízes. Começando pelo , temos:

∆ = b 2 - 4 * a * c

∆ = 144 - 4 ( - 6 ) ( 18 )

∆ = 144 + 432

∆ = 576

Aplicando o valor que descobrimos para na segunda parte da fórmula:

x = - b ± ∆ 2 a

x = - 12 ± 24 - 12

x = 1 ± 2

Como a concavidade é para baixo, a derivada será positiva entre -1 e 3 e negativa para x < - 1 e x > 3 . Então, x = - 1 é um ponto de mínimo!

Resposta

Portanto, não é possível.

Exercício Resolvido #3

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education Ltda, 2009, pp. 291-21. MODIFICADO

Sendo:

g x = x 8 - x ²

a ) Encontre os intervalos onde a função é crescente e decrescente.