Enunciado

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Determinar os máximos e mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados.

k) f x = s e n 3 x - 1 ,   0 , π 2

Passo 1

Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função f de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

f x = s e n 3 x - 1

f ' x = 3 s e n 2 x . cos ⁡ x

Passo 2

Agora que encontramos nossa derivada, igualando-a a zero, teremos:

f ' x = 3 s e n 2 x . cos ⁡ x = 0

Como o intervalo que nos foi dado é apenas para meia volta, esse resultado só é válido para:

cos ⁡ x = 0 ∴ x = π 2

s e n 2 x = 0 ∴ x = 0

Sendo assim, esses valores de x que encontramos aí em cima são pontos críticos da nossa função! Ademais, como nosso intervalo foi definido em 0 , π 2 , então basta substituirmos os pontos críticos na nossa função original para determinar os máximos e mínimos, se liga:

f 0 = s e n 3 0 - 1 = - 1

f π 2 = s e n 3 π 2 - 1 = 0

Portanto, pelos resultados:

Máximo da função ( x ,   y ) em 0 ,   π 2 : π 2 ,   0 ;

Mínimo da função ( x ,   y ) em 0 ,   π 2 : 0 ,   - 1 .

E estão aí nossos máximos e mínimos!

Resposta

Máximo da função ( x ,   y ) em 0 ,   π 2 : π 2 ,   0 ;

Mínimo da função ( x ,   y ) em 0 ,   π 2 : 0 ,   - 1 .

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