Enunciado

Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função seguinte tem concavidade voltada para cima ou para baixo.

f x = x 2 - 4 ,     x ≤ 2 4 - x 2 ,                   x > 2

Passo 1

Por definição a concavidade de uma função pode ser analisada de acordo com a sua segunda derivada. Se f é uma função contínua em um certo intervalo [ a , b ] e derivável até 2ª ordem no intervalo ( a , b ) , temos que:

  1. Se f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   a . b .
  2. Se f ' ' x < 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   a . b .

Aplicando esse conceito a nossa função, temos:

f ' x = 2 x ,     x < 2 - 2 x ,             x > 2

f ' ' x = 2 ,     x < 2 - 2 ,           x > 2

Para f ' ' x > 0 ,   x ∈ - ∞ , 2 ⇒ f é côncava para cima neste intervalo.

Para f ' ' x < 0 ,   x ∈ 2 , + ∞ ⇒ f é côncava para baixo neste intervalo

Passo 2

A função f muda sua concavidade em x = 2 , logo este é um ponto de inflexão.

2 , f 2 = 2,0   é   p o n t o   d e   i n f l e x ã o .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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