Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x

Passo 1

Essa questão pode assustar, então vamos dar uma revisada antes de começar a questão em si!

Para o s e n h x :

s e n h x = e x - e - x 2

Para o c o s h x :

c o s h x = e x + e - x 2

se fizermos x = 0 :

cosh ⁡ 0 = 1 + 1 2 → cosh ⁡ 0 = 1

Passo 2

A primeira coisa que podemos tentar é substituir x = 0 para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = cosh ⁡ 0 - 1 1 - cos ⁡ 0

Como cosh ⁡ 0 = 1 :

L = 1 - 1 1 - 1

Fazendo as contas:

L = 0 0

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 3

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo.

L = lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x

A derivada de cosh ⁡ x é o seguinte:

cosh ⁡ x ' = s e n h x

Aplicando L’Hospital:

L = lim x → 0 ⁡ s e n h x - - s e n x

Assim,

L = lim x → 0 ⁡ s e n h x s e n x

Fazendo x = 0 :

L = s e n h 0 s e n 0

Para calcular o s e n h 0 , vamos usar o lembrete do Passo 1.

s e n h 0 = e 0 - e 0 2 → s e n h 0 = 0

então nosso limite fica o seguinte:

L = 0 0

Eita, caímos numa indeterminação de novo! Então vamos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 4

Antes de aplicarmos o L’Hospital, deixa eu te lembrar uma coisa:

senh ⁡ x ' = cosh ⁡ x

Derivando novamente:

L = lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x cos ⁡ x

Pra finalizar, basta fazermos x = 0 .

L = cosh ⁡ 0 cos ⁡ 0

Portanto,

L = 1 1 → L = 1

Resposta

L = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A regra de l'Hôpital não ajuda com os limites nos Exercícios 67-74. Tente, mas você apenas entrará em um ciclo vicioso. Determine os limites de outra forma. lim x → 0 + ⁡ cot ⁡ x c s cx
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 s e n 3 x - 3 x + x 2 s e n x s e n ( 2 x )
A regra de l'Hôpital não ajuda com os limites nos Exercícios 67-74. Tente, mas você apenas entrará em um ciclo vicioso. Determine os limites de outra forma. lim x → ∞ ⁡ e x 2 x e x
A regra de l'Hôpital não ajuda com os limites nos Exercícios 67-74. Tente, mas você apenas entrará em um ciclo vicioso. Determine os limites de outra forma. lim x → - ∞ ⁡ 2 x + 4 x 5 x - 2 x
Calcule o limite, se ele existir. lim x → 2 ⁡ sin ⁡ ( π x ) 2 - x