Enunciado

Determinar o vetor gradiente das seguintes funções :

f u , v , w = u v w + u 2 - v 2 - w 2

Passo 1

O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais da função em um determinado ponto, denotamos o vetor gradiente da seguinte maneira

∇ f x 0 , . . x n = ∂ f ∂ x 0 , … , ∂ f ∂ x n

Este vetor tem como propriedade de suma importância ser perpendicular as curvas e superfícies de nível, portanto é extremamente importante sabermos sua representação e o que ele significa.

Passo 2

Visto isso, vamos aprender como calculá-lo

Precisamos calcular inicialmente as derivadas parciais em cada coordenada, logo segue que

∂ f ∂ u u , v , w = v w + 2 u

∂ f ∂ v u , v , w = u w - 2 v

∂ f ∂ v u , v , w = u v - 2 w

Passo 3

∇ f u , v , w = ∂ f ∂ u , ∂ f ∂ v , ∂ f ∂ w = ( v w + 2 u , u w - 2 v , u v - 2 w )

Resposta

∇ f u , v , w = ( v w + 2 u , u w - 2 v , u v - 2 w )

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Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 . Se F → for conservativo então existirá uma função escalar U x , y definida em A tal que
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 . Se F → for conservativo então existirá uma função escalar U x , y definida em A tal que
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 denomina-se conservativo se existe um campo escalar φ: A → R tal que ∇ φ x , y =F → x , y
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 denomina-se conservativo se existe um campo escalar φ: A → R tal que ∇ φ x , y =F → x , y
Seja y = g ( x ) definida e derivável no intervalo aberto I , dada implicitamente pela equação f x , y = 0 , onde f x , y é suposta diferenciável no aberto A ⊂ R 2 . ∂ f ∂ x ⋅ ∂ f ∂ y0 em A. Com argum