Enunciado

Determinar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante t . Determinar, ainda, o modulo desses vetores no instante dado.

c) r → t = cosh ⁡ t   i → + 3 s e n h t   j →   ; t = 0

Passo 1

Nessa questão temos que lembrar das coisas que aprendemos lá em física: A velocidade é a derivada do espaço e a aceleração é a derivada da velocidade. Show? Então vem comigo!

O enunciado nos disse o seguinte:

r → t = cosh ⁡ t   i → + 3 s e n h t   j →  

Antes de começarmos a questão, vamos relembrar algumas coisas:

cosh ⁡ t = e t + e - t 2 sen h ⁡ t = e t - e - t 2

Para as derivadas:

cosh ⁡ t ' = s e n h t

s e n h t ' = cosh ⁡ t

Passo 2

r → t = cosh ⁡ t   i → + 3 s e n h t   j →  

Para acharmos a velocidade, basta derivarmos r → t . Derivando,

v → t = senh ⁡ t i → + 3 cosh ⁡ t j →  

E para aceleração, vamos derivar v → t . Assim,

a → t = cosh ⁡ t i → + 3 s e n h t j →

Passo 3

Agora vamos encontrar o módulo da velocidade no instante t = 0 . Para isso, vamos primeiro achar v → 0 .

v → 0 = senh ⁡ 0 i → + 3 cosh ⁡ 0 j →  

Usando os lembretes do Passo 1, podemos verificar que s e n h 0 = 0 e cosh ⁡ 0 = 1 . Logo,

v → 0 = 0   i → + 3   j →  

Então o modulo do vetor velocidade fica o seguinte:

v → 0 = 0 2 + 3 2

Fazendo as contas:

v → 0 = 3

Passo 4

Para aceleração vamos fazer um processo bem parecido, olha só:

a → t = cosh ⁡ t i → + 3 s e n h t j →

No instante t = 0 :

a → 0 = cosh ⁡ 0 i → + 3 s e n h 0 j →

Substituindo os valores:

a → 0 = 1   i → + 3 × 0 j →

Isto é,

a → 0 = 1   i → + 0   j →

Pra finalizar, vamos achar o modulo desse vetor.

a → 0 = 1 2 + 0 2

Portanto,

a → 0 = 1

Resposta

Para qualquer instante t :

v → t = senh ⁡ t i → + 3 cosh ⁡ t j →  

a → t = cosh ⁡ t i → + 3 s e n h t j →

Para t = 0 :

v → 0 = 3

a → 0 = 1

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