Determine f' , f'' e f''' .

e) f(x) = x |x|

Passo 1

Primeiramente, escrevemos a função em duas setenças, por causa do módulo:

f x = x - x   ,     x < 0 x x   ,     x ≥ 0

f ( x ) = - x 2   ,     x < 0 x 2   ,     x ≥ 0

E então, derivamos a função f x , setença por setença:

f ' = f x ' = - x 2 '   ,     x < 0 x 2 '   ,     x > 0

f ' = - 2 x   ,     x < 0 2 x   ,     x ≥ 0

Perceba que as duas derivadas, à esquerda e à direita, coincidem quando x = 0 . Podemos resumir:

f ' = 2 x

Passo 2

Agora, derivamos f ' para obter f ' ' :

f ' ' = f ' ' = - 2 x '   ,     x < 0 2 x '   ,     x > 0

f ' ' = - 2   ,     x < 0 2   ,     x > 0

Aqui, as derivadas laterais são diferentes quando x = 0 , portanto a derivada f ' ' 0 não existe.

Passo 3

Por último, derivamos f ' ' para obter f ' ' ' :

f ' ' ' = f ' ' ' = - 2 '   ,     x < 0 2 '   ,     x > 0

f ' ' ' = 0   ,     x < 0 0   ,     x ≥ 0

Aqui as derivadas coincidem em todos os pontos:

f ' ' ' = 0

Resposta

f ' = 2 x

f ' ' = - 2   ,     x < 0 2   ,     x > 0

f ' ' ' = 0

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