Enunciado

Determine underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(9 x^2 - x) - 3 x)

Passo 1

O primeiro passo consiste procurar reescrever a função que foi dada no enunciado. Faremos isso para que as contas fiquem mais simples e possamos usar coisas que já sabemos.

Como estamos lidando com uma função que possui raiz quadrada e o limite é de x -> oo . Uma boa opção seria reescrever essa função através de uma racionalização, que consiste em multiplicar a função que temos por 1, entretanto esse 1 é representado de maneira conveniente. Exemplo: sqrt(a) - b = (sqrt(a) - b) . 1 = sqrt(a) - b . [(sqrt(a) + b)/(sqrt(a) + b)] = (( sqrt(a) - b ) . ( sqrt(a) + b ))/(sqrt(a) + b)

Então, se racionalizarmos a função temos,

underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(9 x^2 - x) - 3 x) = underset(x -> oo)(l i m) [sqrt(9 x^2 - x) - 3 x] . [(sqrt(9 x^2 - x) + 3 x)/(sqrt(9 x^2 - x) + 3 x)] = underset(x -> oo)(l i m) ([sqrt(9 x^2 - x) - 3 x] . [sqrt(9 x^2 - x) + 3 x])/(sqrt(9 x^2 - x) + 3 x)

Passo 2

O segundo passo é reorganizar os termos que obtemos no passo 1, isso pode ser feito através da propriedade distributiva, ou chuveirinho como algumas pessoas conhecem, ou seja,

underset(x -> oo)(l i m) ([sqrt(9 x^2 - x) - 3 x] . [sqrt(9 x^2 - x) + 3 x])/(sqrt(9 x^2 - x) + 3 x)

= underset(x -> oo)(l i m) ((sqrt(9 x^2 - x))^2 + (sqrt(9 x^2 - x ) . 3 x) - (3 x . sqrt(9 x^2 - x)) - ( 3 x )^2)/(sqrt(9 x^2 - x) + 3 x)

= underset(x -> oo)(l i m) ((sqrt(9 x^2 - x))^2 + (3 x . sqrt(9 x^2 - x )) - (3 x . sqrt(9 x^2 - x)) - ( 3 x )^2)/(sqrt(9 x^2 - x) + 3 x)

= underset(x -> oo)(l i m) (9 x^2 - x - 9 x^2)/(sqrt(9 x^2 - x) + 3 x) = underset(x -> oo)(l i m) (- x)/(sqrt(9 x^2 - x) + 3 x) = underset(x -> oo)(l i m) (- x)/(sqrt(9 x^2 - x) + 3 x)

Passo 3

O terceiro passo é perceber que não há mais possibilidade de arrumar a nossa função, então isso significa que retornamos para um lugar conhecido, ou seja, vamos utilizar os truques de limite quando x -> oo e função é uma divisão de polinômios. Isso quer dizer que vamos dividir em cima e em baixo, pelo termo de maior grau.

Então o limite ficará da forma:

underset(x -> oo)(l i m) (- (x)/(x))/((sqrt(9 x^2 - x))/(x) + (3 x)/(x)) = underset(x -> oo)(l i m) (- (x)/(x))/((sqrt(9 x^2 - x))/(x) + (3 x)/(x))

= underset(x -> oo)(l i m) (- 1)/((sqrt(9 x^2 - x))/(x) + 3) = underset(x -> oo)(l i m) (- 1)/(sqrt((9 x^2 - x)/(x^2)) + 3) = underset(x -> oo)(l i m) (- 1)/(sqrt((9 x^2)/(x^2) - (x)/(x^2) ) + 3)

= underset(x -> oo)(l i m) (- 1)/(sqrt(9 - (1)/(x) ) + 3) = (- underset(x -> oo)(l i m) 1)/(underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(9 - (1)/(x) ) + 3)) = (- underset(x -> oo)(l i m) 1)/(underset(x -> oo)(l i m sqrt(9 - (1)/(x) )) + underset(x -> oo)(l i m) 3)

Passo 4

O terceiro passo é utilizar as propriedades de limites (soma, subtração, divisão...) que já sabemos, para com isso obter o resultado.

(- underset(x -> oo)(l i m) 1)/(sqrt(underset(x -> oo)(l i m) (9 - (1)/(x))) + underset(x -> oo)(l i m) 3) = (- underset(x -> oo)(l i m) 1)/(sqrt(underset(x -> oo)(l i m) 9 - underset(x -> oo)(l i m) (1)/(x)) + underset(x -> oo)(l i m) 3)

= (- 1)/(sqrt(9 - 0) + 3) = (- 1)/(sqrt(9 + 3)) = (- 1)/(3 + 3) = - (1)/(6)

Resposta

underset(x -> oo)(l i m) (sqrt(9 x^2 - x) - 3 x) = - (1)/(6)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o limite lim x → ∞ ⁡ x2 3 +x - 1x2 3+c o s 2 x
Determine o limite lim τ → - ∞ ⁡ e 3 τ∙s e n - 1 ⁡1 τ
Determine o limite lim θ → ∞ ⁡ c o sθ-1 θ
Determine o limite lim x → ∞ ⁡x+s e nx+2 x x+s e nx
Determine o limite QUOTE _x0001_