Determine o limite

lim x → ∞ ⁡   x   +   s e n   x   +   2 x x   +   s e n   x

Passo 1

Para descobrir o limite, devemos perceber que a substituição de x por resultará em uma indeterminação. Logo, devemos dividir todas as expressões pelo termo de maior ordem do denominador.

Passo 2

lim x → ∞ ⁡   x   +   s e n   x   +   2 x x   +   s e n   x   ∙   1 x 1 x

lim x → ∞ ⁡   x x   +   s e n   x x   +   2 x x x x   +   s e n   x x  

  l i m x → ∞   x x   + l i m x → ∞   s e n   x x   +   l i m x → ∞ 2 x x l i m x → ∞   x x   + l i m x → ∞   s e n   x x

  l i m x → ∞   1   + l i m x → ∞   s e n   x x   +   l i m x → ∞ 2 x l i m x → ∞   1   + l i m x → ∞   s e n   x x

    1   + l i m x → ∞   s e n   x x   +   0   1   + l i m x → ∞   s e n   x x

Passo 3

Para resolver l i m x → ∞   s e n   x x

devemos notar que - 1 ≤   s e n   x   ≤   1 e que l i m x → ∞   1 x   =   0

Logo,

l i m x → ∞   1 x   ∙   ( - 1 )   ≤ l i m x → ∞   s e n   x x   ≤   l i m x → ∞   1 x   ∙   1

0   ∙   ( - 1 )   ≤ l i m x → ∞   s e n   x x   ≤   0   ∙   1

0   ≤ l i m x → ∞   s e n   x x   ≤   0  

Portanto, pelo teorema do confronto, é possível afirmar que l i m x → ∞   s e n   x x   =   0

Passo 4

Sabendo o valor de l i m x → ∞   s e n   x x

    1   + l i m x → ∞   s e n   x x   +   0   1   + l i m x → ∞   s e n   x x   =   1   +   0   +   0 1   +   0   =   1

Resposta

lim x → ∞ ⁡   x   +   s e n   x   +   2 x x   +   s e n   x   =   1

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