Determine o limite

lim τ → - ∞ ⁡ e 3 τ   ∙   s e n - 1 ⁡   1 τ

Passo 1

Para encontrar o limite, devemos aplicar a propriedade do limite

l i m τ → - ∞     e 3 τ   ∙   l i m τ → - ∞   s e n - 1 ⁡   1 τ

Passo 2

Para determinar l i m τ → - ∞     e 3 τ , devemos notar que τ tende a um valor negativo. Logo, podemos reescrever o limite da seguinte forma:

l i m τ → ∞   1 e 3 τ

Resolvendo o limite:

  1 e 3   ∙   ∞   =   1 ∞   =   0

Passo 3

Para determinar l i m τ → - ∞   s e n - 1 ⁡   1 τ , devemos saber que s e n - 1 ⁡ 1 τ   =   a r c s e n   1 τ

Considerando lim τ → μ ⁡ sen - 1 ⁡ 1 τ   =   y

Podemos afirmar que

lim θ → y ⁡ s e n ( θ )   =   1 μ

Logo, se μ   =   - ∞

lim θ → y ⁡ s e n ( θ )   =   0

Para isso acontecer, γ deve ser igual a 0 (caso 1) ou igual a π (caso 2).

Passo 4

Analisando os dois casos,

Caso 1:

l i m τ → - ∞     e 3 τ   ∙   l i m τ → - ∞   s e n - 1 ⁡   1 τ

0   ∙   0   =   0

Caso 2:

l i m τ → - ∞     e 3 τ   ∙   l i m τ → - ∞   s e n - 1 ⁡   1 τ

0   ∙   π   =   0

Portanto, podemos afirmar que

lim τ → - ∞ ⁡ e 3 τ   ∙   s e n - 1 ⁡   1 τ   =   0

Resposta

lim τ → - ∞ ⁡ e 3 τ   ∙   s e n - 1 ⁡   1 τ   =   0

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