Determine o limite

lim x → ∞ ⁡     x   2 3 +   x - 1   x   2 3   +   c o s 2 x

Passo 1

Para descobrir o limite, devemos perceber que a substituição de x por resultará em uma indeterminação. Logo, devemos dividir todas as expressões pelo termo de maior ordem do denominador.

Passo 2

lim x → ∞ ⁡     x   2 3 +   x - 1   x   2 3   +   c o s 2 x   ∙   1 x 2 3 1 x 2 3

lim x → ∞ ⁡     x   2 3   x   2 3 +   x - 1   x   2 3   x   2 3   x   2 3   +   c o s 2 x   x   2 3  

l i m x → ∞     x   2 3   x   2 3 + l i m x → ∞   x - 1   x   2 3 l i m x → ∞     x   2 3   x   2 3   + l i m x → ∞   c o s 2 x   x   2 3

1 + l i m x → ∞   1   x   5 3 1 + l i m x → ∞   c o s 2 x   x   2 3

1 + 0 1 + l i m x → ∞   c o s 2 x   x   2 3

Passo 3

Para resolver l i m x → ∞   c o s 2 x   x   2 3

devemos notar que 0 ≤   c o s 2 x   ≤   1 e que l i m x → ∞   1   x   2 3   =   0

Logo,

l i m x → ∞   1   x   2 3   ∙   ( 0 )   ≤ l i m x → ∞   c o s 2 x   x   2 3 ≤   l i m x → ∞   1 x   x   2 3   ∙   1

0   ∙   0   ≤ l i m x → ∞   c o s 2 x   x   2 3   ≤   0   ∙   1

0   ≤ l i m x → ∞   c o s 2 x   x   2 3   ≤   0  

Passo 4

Sabendo o valor de l i m x → ∞   c o s 2 x   x   2 3

1 + 0 1 + l i m x → ∞   c o s 2 x   x   2 3   =   1 +   0 1   +   0   =   1

Resposta

lim x → ∞ ⁡     x   2 3 +   x - 1   x   2 3   +   c o s 2 x   =   1

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