Enunciado

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

∫ - 1 1 1 x 3 d x = 0

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Vamos resolver da maneira mais trivial: apenas calculando a integral.

Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ - 1 1 1 x 3 d x = 0

O integrando não está definido para um valor entre os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ - 1 1 1 x 3 d x = 0 = lim a → 0 - ⁡ ∫ - 1 a 1 x 3 d x + lim b → 0 + ⁡ ∫ b 1 1 x 3 d x

Assim, caso um dos dois limites não existir, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir.

Passo 3

Com isso, podemos verificar um limite de cada vez para fazer essa análise.

Dessa forma, resolvendo o segundo limite (a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério, beleza?) de forma direta, teremos:

lim b → 0 + ⁡ ∫ b 1 1 x 3 d x = lim b → 0 + ⁡ - 1 2 x 2 | 1 b

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim b → 0 + ⁡ ∫ b 1 1 x 3 d x = - 1 2 lim b → 0 + ⁡ 1 - 1 b 2

Logo:

lim b → 0 + ⁡ ∫ b 1 1 x 3 d x = + ∞

Como um dos limites resultou em um valor infinito, não é necessário calcular o outro limite, já que isso faz com que a integral seja divergente.

Portanto, a afirmação é falsa, visto que o resultado da integral não é zero.

Resposta

Falso

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