Calcule as integrais que convirjam.

∫ 0 1 d x x - 1 2 / 3

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ 0 1 d x x - 1 2 / 3

O integrando não está definido para o limite superior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ 0 1 d x x - 1 2 / 3 = lim a → 1 - ⁡ ∫ 0 a d x x - 1 2 / 3

Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, o limite deve existir resultando em um valor inteiro.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o limite pelo método da substituição simples com u = x - 1 , tal que d u = d x , teremos que:

Quando x = a → u = a - 1

Quando x = 0 → u = - 2

Então:

lim a → 1 - ⁡ ∫ 0 a d x x - 1 2 / 3 = lim a → 1 - ⁡ ∫ - 2 a - 1 d u u 2 / 3

Resolvendo essa integral:

lim a → 1 - ⁡ ∫ 0 a d x x - 1 2 / 3 = lim a → 1 - ⁡ 3 u 1 / 3 | a - 1 - 2

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim a → 1 - ⁡ ∫ 0 a d x x - 1 2 / 3 = 3 lim a → 1 - ⁡ a - 1 1 / 3 - - 2 1 / 3

Logo:

lim a → 1 - ⁡ ∫ 0 a d x x - 1 2 / 3 = 3 - - 2 3 = 3 - 1 - 2 3

∴ lim a → 1 - ⁡ ∫ 0 a d x x - 1 2 / 3 = 3 2 3

Como o limite resultou em um valor inteiro, a integral é convergente.

Resposta

∫ 0 1 d x x - 1 2 / 3 = 3 2 3

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