Enunciado

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

A aproximação S 50 de ∫ a b f x d x pela regra de Simpson corresponde a ∫ a b q x d x , em que o gráfico de q é composto de 25 segmentos parabólicos ligados em pontos do gráfico de f .

Passo 1

E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, a ideia para esse exercício envolve principalmente a parte teórica, como a definição da Regra de Simpson e a representação geométrica.

A interpretação geométrica pode ser comprovada através do tópico relacionado a esse assunto na página 540 do livro Cálculo Vol. 1 - 10 ª Ed. – ANTON, onde é dito que a Regra em questão utiliza de arcos parabólicos para melhorar a aproximação.

Passo 2

Dito isso, vamos relembrar alguns fatos: enquanto as regras trapezoidal e do ponto médio envolvem separadamente apenas a aproximação pela esquerda e direita e pelo ponto médio, respectivamente, temos que a Regra de Simpson usa as duas aproximações ao mesmo tempo.

Assim, caso a seção possua um número n de subintervalos, ela possuirá n pontos médios e n

aproximações pela esquerda e direita e, consequentemente, a Regra de Simpson terá 2 n termos dentro dessa seção.

Passo 3

Então, podemos definir a aproximação pela Regra de Simpson como S 50 , tal que ela representa a integral:

∫ a b f x d x

Além de representar a média ponderada entre as duas outras aproximações (trapezoidal T 25 e do ponto médio M 25 ) que representam a integral:

∫ a b q x d x

Cujo gráfico tem 25 subintervalos usando-se arcos parabólicos ao invés de segmentos de reta, o que auxilia numa melhor aproximação da concavidade que pode haver na curva a ser analisada.

Logo, esses fatos mostram que a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro

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