Enunciado

Determine a aproximação linear da função f x , y = 1 - x y cos ⁡ π y em ( 1 ,   1 ) e use-a para aproximar o número f ( 1,02 ,   0,97 ) .

Passo 1

A questão fornece o valor de uma função e suas derivadas em um determinado ponto e pede para usarmos uma aproximação linear para estimar o seu valor em outro ponto. Para isso, você precisa lembrar que uma aproximação linear é basicamente a equação do plano tangente:

L x , y = f x 0 ,   y 0 + ∂ f ∂ x x 0 ,   y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 ,   y 0 ( y - y 0 )

Assim, a proximação linear de f em torno de x 0 , y 0 = ( 1 ,   1 ) será:

L x , y = f 1 ,   1 + f x 1 ,   1   x - 1 + f y 1 ,   1   ( y - 1 )

Tomando as derivadas parciais:

- em x :

f x = 0 - y cos ⁡ π y

f x = - y cos ⁡ π y

- em y :

f y = 0 - x cos ⁡ π y - π x y sen ⁡ π y

f y = - x cos ⁡ π y + π x y sen ⁡ π y  

Passo 2

Usando x 0 = 1 e y 0 = 1 :

f x 1 ,   1 = - cos ⁡ π = 1

f y 1 ,   1 = - cos ⁡ π + π   s e n   π = 1

f 1 ,   1 = 1 - cos ⁡ π = 2

Portanto,

L x , y = 2 + x - 1 + y - 1 = x + y

Desta forma,

f 1,02 ,   0,97 ≈ L 1,02 ,   0,97 = 1,02 + 0,97

Logo,

f ( 1,02 ,   0,97 ) ≈ 1,99

Resposta

f ( 1,02 ,   0,97 ) ≈ 1,99

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