Enunciado

Use a derivação implícita para encontrar del z // del x e del z // del y .

y z + x ln y = z^2

Passo 1

Esse aqui é um problema de derivação implícita! Nos foi dado uma relação entre x , y e z que determina implicitamente z como função de x e y , isto é, z = z ( x , y ) . Queremos encontrar as derivadas parciais de z .

Derivando a equação com relação x e mantendo y constante:

y (del z)/(del x) + ln y = 2 z (del z)/(del x)

Lembre-se que z depende de x , então não o trate como constante!

Fatorando a derivada:

(2 z - y) (del z)/(del x) = ln y => (del z)/(del x) = (ln y)/(2 z - y)

Passo 2

Fazendo a mesma coisa com relação a y

z + y (del z)/(del y) + (x)/(y) = 2 z (del z)/(del y)

Logo,

(2 z - y) (del z)/(del y) = z + (x)/(y) = (x + z y)/(y)

Portanto,

(del z)/(del y) = (x + z y)/(y ( 2 z - y ))

Resposta

(del z)/(del x) = (ln y)/(2 z - y)

(del z)/(del y) = (x + z y)/(y ( 2 z - y ))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja F (x , y , z) = f ((x)/(y) , (y)/(z) , (z)/(x)) . Mostre quex (del F)/(del x) + y (del F)/(del y) + z (del F)/(del z) = 0
Seja f ( x , y ) diferenciável e homogênea de grau λ no aberto A . Prove:a) a ∂ f ∂ x a t , b t + b ∂ f ∂ ya t , b t = λ t λ - 1 f ( a , b ) para todo t0 e para todo a , b ∈ A , como a t , b t ∈ A .b)
Seja F ( u , v ) diferenciável em R 2 , com ∂ F ∂ v u , v ≠ 0 para todo ( u , v ) . Suponha que, para todo ( x , y ) , F x y , z = 0 , onde z = z ( x , y ) . Mostre que x ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y = 0
Suponha x = x ( u , v ) e y = y ( u , v ) sejam dadas implicitamente pelo sistema u = x + y v = y x , x ≠ 0 Mostre que ∂ x ∂ u1 + y x = 1
A equação y 3 + x y + x 3 = 4 define implicitamente alguma função diferenciável y = y ( x ) ? Em caso afirmativo, expresse d y d x em termos de x e y .