Enunciado

Determine, aproximando o valor até a precisão de um grau, os três ângulos do triângulo cujos vértices são dados.

A 1,0 , - 1 ;     B 3 , - 2,0 ;     C ( 1,3 , 3 )

Passo 1

O cosseno de um ângulo entre vetores é encontrado assim:

cos ⁡ θ =   a ∙ b a | b |

Vamos encontrar os vetores A B → ,   A C → ,   e   B C → então e depois aplicar a fórmula:

  A B → = ( 2 , - 2,1 )

A C → = ( 0,3 , 4 )

B C → = ( - 2 ,   5 ,   3 )

Passo 2

Agora a gente calcula as normas:

  A B → = 2 2 + - 2 2 + 1 2 = 9 = 3

A C → = 0 2 + 3 2 + 4 2 = 25 = 5

B C → = - 2 2 + 5 2 + 3 2 = 38

Vamos fazer agora o ângulo entre   A B → e A C → :

cos ⁡ θ =     2 , - 2,1 ∙ ( 0,3 , 4 ) 3 ∙ 5 =   0 - 6 + 4 15 =   - 2 15

Então θ = a r c cos ⁡ - 2 15 = 97,6622 … = 98 °

Passo 3

Entre   B A →   e   B C → agora (a gente sempre faz o ângulo com os vetores partindo do mesmo ponto):

cos ⁡ θ =     - 2,2 , - 1 ∙ ( - 2,5 , 3 ) 3 ∙ 38 =   4 + 10 - 3 3 38 =   11 3 38

Então θ 2 = a r c cos ⁡ 11 3 38 =   54 ° .

Agora o outro ângulo é só a gente lembrar que a soma dos ângulos de um triângulo dá 180 ° ...

θ 3 = 180 - 54 - 98 = 28 °

E... Pronto!!

Resposta

98 ° ,   54 ° ,   28 °

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