Enunciado

Determine a área da superfície de equação vetorial

r u ,   v = cos 3 ⁡ u cos 3 ⁡ v   ,       s e n 3   u cos 3 ⁡ v   ,       s e n 3   v   ,           0 ≤ u ≤ π   ,       0 ≤ v ≤ 2 π

Dê sua resposta com precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

Primeiro, vamos calcular as derivadas:

r u = - 3 cos 2 ⁡ u   s e n   u cos 3 ⁡ v   ,       3   s e n 2 u cos ⁡ u cos 3 ⁡ v   ,       0

r v = - 3 cos 3 ⁡ u cos 2 ⁡ v s e n   v   ,       - 3   s e n 3   u cos 2 ⁡ v s e n   v   ,       3   s e n 2   v cos ⁡ v

Passo 2

Show! Agora podemos calcular o seguinte produto vetorial:

r u × r v =

( 9 cos ⁡ u s e n 2   u cos 4 ⁡ v s e n 2   v   ,       9 cos 2 ⁡ u s e n   u cos 4 ⁡ v s e n 2   v   ,       9 cos 2 ⁡ u s e n 2   u cos 5 ⁡ v s e n   v )

E portanto, o seu módulo:

r u × r v =

9 cos 2 ⁡ u s e n 4   u cos 8 ⁡ v s e n 4   v + cos 4 ⁡ u s e n 2   u cos 8 ⁡ v s e n 4   v + cos 4 ⁡ u s e n 4   u cos 10 ⁡ v s e n 2   v = 9 cos 2 ⁡ u s e n 2   u cos 8 ⁡ v s e n 2   v   s e n 2   v + cos 2 ⁡ u s e n 2   u cos 2 ⁡ v = 9 cos 4 ⁡ v cos ⁡ u s e n   u   s e n   v s e n 2   v + cos 2 ⁡ u s e n 2   u cos 2 ⁡ v

Passo 3

Então, podemos escrever a integral que dá a área da superfície assim:

A S = ∫ 0 π ∫ 0 2 π 9 cos 4 ⁡ v cos ⁡ u s e n   u   s e n   v s e n 2   v + cos 2 ⁡ u s e n 2   u cos 2 ⁡ v

Utilizando um CAS, nós obtemos:

A S ≈ 4,4506

Resposta

A S ≈ 4,4506

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1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.) σ( u ,v )=( u ,v ,1-u-v ) ,u≥0 ,v≥0eu+v≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,2-u-v ) ,u 2+v 2 ≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,u 2+v 2 ) ,u 2+v 2≤
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9 . Calcule a área da parte da superfície z = x 3 / 2 + y 3 / 2 ,0 ≤ x ≤ 8 9 e 0 ≤ y ≤ 9 16 x 2
11 . Calcule a área da superfície z = x 2 + y 2 compreendida entre os planos x + y = 1,x + y = 2,x = 0ey = 0
3. Seja f:K→R de classeC 1 no compacto K com fronteira de conteúdonulo e interior não vazio. Mostre que a área da superfície z = f( x ,y ) (istoé, da superfície σ dada por x=u ,y=vez=f( u ,v )) é dada