Enunciado

(a) Determine o trabalho realizado pelo campo de força F x ,   y = x 2   i + x y   j sobre uma partícula que dá uma volta no círculo x 2 + y 2 = 4 no sentido anti-horário.

(b) Utilize um sistema de computação algébrica para desenhar o campo de força e o círculo na mesma tela. Use essa figura para explicar sua resposta para a parte (a).

Passo 1

(a) Galera, a gente pode parametrizar o círculo assim:

r t = 2 cos ⁡ t i + 2   s e n   t   j   ,           0 ≤ t ≤ 2 π

Então teremos:

F r t = 4 cos 2 ⁡ t ,       4 cos ⁡ t s e n   t

r ' t = - 2   s e n   t   ,       2 cos ⁡ t

O trabalho vai ser calculado assim:

W = ∫ C F ∙ d r = ∫ 0 2 π F r t ∙ r ' t   d t = ∫ 0 2 π ( - 8 cos 2 ⁡ t s e n   t + 8 cos 2 ⁡ t s e n t )   d t = ∫ 0 2 π 0   d t = 0

Passo 2

(b) Agora vamos usar um SCA para desenhar o campo de força junto com o círculo:

Parece que todas as setas dos vetores são perpendiculares ao círculo. Sabe o que isso significa? As forças exercidas sobre a partícula não ajudam nem atrapalham o movimento dela ao longo do círculo, e por isso o trabalho é nulo, como calculamos anteriormente.

Resposta

(a) W = 0

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Calcule ∫ γ y 2 d x + x d y - d z , onde γ é o poligonal de vértices A 0 = 0,0 , 0 , A 1 = 1,1 , 1 e A 2 = 1,1 , 0 , orientada de A 0 para A 2 .
Calcule ∫ γ F → ⋅ d r → , onde F → x , y = x + y 2 j → e γ é a curva do Exercício 1.
Calcule ∫ γ x 3 d x + d y 1 + y 2 Onde γ é a curva
Seja γ 1 : a , b → R 2 uma curva de classe C 1 e seja f x , y um campo escalar contínuo na imagem de γ 1 . Seja γ 2 : a , b → R 2 dada por γ 2 t = γ 1 a + b - t Prove que ∫ γ 1 f x , y d s = ∫ γ 2 f x
Calcule ∫ C f d s , onde a )f x ,y = x + y e C é a fronteira do triângulo de vértices 0 ,0 ,1 ,0 e 0 ,1 .