Enunciado

Teste a convergência ou divergência das séries.

sum_(n = 1)^(oo) (root(n)(2) - 1)

Passo 1

Galera, aqui podemos usar o Teste de Comparação do Limite, com a_n = root(n)(2) - 1 e b_n = (1)/(n) , a série harmônica, que sabemos que é divergente:

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) (2^((1)/(n)) - 1)/((1)/(n)) = underset(x -> oo)(lim) (2^((1)/(x)) - 1)/((1)/(x))

Passo 2

Vamos usar L’Hôpital para calcular o limite:

underset(x -> oo)(lim) (2^((1)/(x)) - 1)/((1)/(x)) = underset(x -> oo)(lim) (2^((1)/(x)) . ln 2 . (- (1)/(x^2)))/(- (1)/(x^2)) = underset(x -> oo)(lim) (2^((1)/(x)) . ln 2) = 2^0 . ln 2 = ln 2 > 0

Como chegamos a underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) > 0 e a série usada na comparação é divergente, então sum_(n = 1)^(oo) (root(n)(2) - 1) também é divergente, beleza?

Resposta

Série divergente

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