Enunciado

Determine a área da superfície lateral (lado) do cone gerado pela rotação do segmento de reta y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 4 , em torno do eixo x . Verifique se sua resposta coincide com a fórmula geométrica.

Área de superfície lateral = 1 2 × circunferência da base × altura inclinada.

Passo 1

  1. Por definição temos que se a função f x ≥ 0   é continuamente derivável em [ a , b ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva y = f ( x ) em torno do eixo x é:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2   d x

Assim, temos que:

S = ∫ 0 4 2 π x 2   1 + 1 2 2 d x = π ∫ 0 4 x   5 4 d x = π 5 2   x 2 2 4 0 = 4 π 5

Verificando com a fórmula geométrica, temos:

A L = 1 2 × 2 π r × h = π 2 × 2 5 = 4 π 5

Resposta

4 π 5

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Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo indicado. y = 16 - x 2 ,- 3 ≤ x ≤ 3 , eixo dos x
Calcular a área da superfície obtida pela revolução da parábola y 2 = 8 x ,1 ≤ x ≤ 12 , ao redor do eixo dos x .
Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo indicado. y = 1 2 x ,0 ≤ x ≤ 4 , eixo dos x
Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva dado, em torno do eixo indicado. y = 2 x 3 ,0 ≤ x ≤ 2 , eixo dos x
Calcular a área da superfície do cone gerado pela revolução do segmento de reta y = 4 x ,0 ≤ x ≤ 2 .Em torno do eixo dos x .Em torno do eixo dos y .