Enunciado

Determine as áreas das regiões compreendidas entre as retas e as curvas nos Exercícios 73-80.

79. x = y 2 - 1   e   x = | y | 1 - y ²

Passo 1

Inicialmente, o que precisamos fazer é plotar esses gráficos para determinarmos as regiões compreendidas entre eles, ok? Se plotarmos os gráficos, teremos:

No qual a função em verde é x = y 2 - 1 e a função em azul é   x = | y | 1 - y ² . Assim como discutido na seção 6 do George, os intervalos de integração para uma f ( y ) são [ c ,   d ] , que são intervalos verticais (em y ), não mais horizontais (em x ). Além disso, temos que descobrir os pontos em que as funções se encontram para descobrirmos nosso intervalo de integração, beleza? Sabendo dessas informações, nosso problema fica bem mais tranquilo! Então bora lá!

Passo 2

Igualando as funções para descobrirmos os pontos em que as funções se encontram, teremos:

y 2 - 1 = y 1 - y 2

y 2 - 1 = y 2 . 1 - y 2

y 2 1 - y 2 = y 2 - 1 2

y 2 - y 4 = y 4 - 2 y 2 + 1

2 y 4 - 3 y 2 + 1 = 0

E aí, como descobrimos as raízes dessa função? Então, assim como visto lááá no ensino médio (algo difícil de lembrar mesmo), essa equação se trata de uma biquadrada. Para resolvermos isso aí, utilizamos a substituição y ² = t . Se utilizarmos essa substituição, teremos:

2 t 2 - 3 t + 1 = 0

Descobrindo as raízes dessa função:

t = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

t 1 = - - 3 + - 3 2 - 4 . 2.1 2 . 2 = 1

t 2 = - - 3 - - 3 2 - 4 . 2.1 2 . 2 = 1 2

Passo 3

Agora que descobrimos as duas raízes de t , basta utilizarmos a substituição y 2 = t para descobrirmos as 2 raízes restantes em y , se liga:

Para t = 1 , temos:

y 2 = 1 ⇒ y = ± 1

Para t = 1 2 , temos:

y 2 = 1 2 ⇒ y = ± 2 2

Agora que encontramos as 4 raízes de x , podemos reescrever a nossa equação da seguinte forma:

2 y 4 - 3 y 2 + 1 = 0 ⇒ y 2 - 1 2 y 2 - 1 = 0

No entanto, se observarmos o gráfico, poderemos notar que ± 2 2 não são soluções que resolvem nosso problema, apenas ± 1 .

Passo 4

Para calcularmos a área de uma região em relação à y , assim como discutido na seção 6 do George, o que precisamos descobrir é quais são as curvas à direita e à esquerda. Depois de descoberto isso, basta fazermos:

∫ c d f y - g y d y

Onde, nesse caso, f ( y ) seria a curva à direita e g ( y ) seria a curva à esquerda.

Se analisarmos o gráfico do passo 1, notaremos que a função mais à direita é x = | y | 1 - y ² e a função mais à esquerda é x = y 2 - 1 . Outra coisa muuuuito importante de ser notada no gráfico é que ele é simétrico! Quando o gráfico é simétrico, basta multiplicarmos uma parte da nossa integral por 2, se liga:

A = 2 ∫ 0 1 y 1 - y 2 - y 2 - 1 d y

A = 2 ∫ 0 1 y 1 - y 2 d y - 2 ∫ 0 1 ( y 2 - 1 ) d y

Para resolvermos essa primeira integral, devemos utilizar substituição de variável. Vamos fazer assim:

u = 1 - y 2

d u = - 2 y d y ⇒ - d u = 2 y d y

Substituindo isso na nossa integral, teremos:

A = - ∫ 0 1 u d u - 2 ∫ 0 1 ( y 2 - 1 ) d y

Utilizando a regra do expoente, teremos:

A = - 2 3 u 3 2 1 0 - 2 y 3 3 - y 1 0 = - 2 3 1 - y 2 3 2 1 0 - 2 y 3 3 - y 1 0

A = - - 2 3 - 2 - 2 3

∴ A = 2   ( u . a )

Resposta

A = 2   ( u . a )

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19-26.Use um recurso gráfico computacional, quando necessário, para encontra a região englobada pelas curvas.20. y = x 3 - 2 x 2 ,y = 2 x 2 - 3 x