Enunciado

Determine a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando a área em termos de integral de função de uma variável real e use sua calculadora para estimar o valor da integral.

A parte da superfície z = e - x 2 - y 2 que está acima do círculo x 2 + y 2 ≤ 4 .

Passo 1

Pela equação 3 do capítulo, temos que

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Toda transformação de sistema de coordenada, requer que calculemos o jacobiano, definido como

J = ∂ x , y , z ∂ u , v , w = d e t ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ w ∂ z ∂ w

Onde u , v , w são as coordenadas do novo sistema.

Passo 2

Escrevendo nossa f ( x , y ) ,

f x , y = z = e - x 2 - y 2

Assim temos que

∂ z ∂ x =   - 2 x e - x 2 - y 2

e

∂ z ∂ y = - 2 y e - x 2 - y 2

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = 1 + 4 x 2 e 2 - x 2 - y 2 + 4 y 2 e 2 - x 2 - y 2

Usando coordenadas polares/cilíndricas, temos

1 + 4 r 2 e - 2 r 2

O Domínio é definido como

x 2 + y 2 = 4

Como é nosso círculo que define nossos limites, temos x 2 + y 2 = 4 → r M a x = 2

E que 0 ≤ θ ≤ 2 π

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 1 + 4 r 2 e - 2 r 2   r   d r   d θ = 2 π ∫ 0 2 1 + 4 r 2 e - 2 r 2     r   d r = 13,9783    

Resposta

A S = 13,9783    

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