Enunciado

Uma lamina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas y   =   x 2 + 1   e   y = x + 3 .   Sua densidade de massa no ponto P(x,y) é proporcional à distancia desse ponto ao eixo dos x. Calcular:

a) a massa da lâmina

b) o centro de massa.

c) O momento de inercia em relação ao eixo x

Passo 1

Para resolvermos questões relacionadas a centro de massa e momento de inercia precisamos da seguinte teoria :

Consideramos um sistema cuja massa total esta distribuída numa região do plano e não apenas num conjunto formado por um número finito de pontos, os conceitos de massa, centro de massa e momento são definidos por meio de integrais duplas. Por exemplo, consideremos uma lâmina fina tendo a forma de uma região D do plano e assumamos que a massa está distruibuida sobre essa lâmina com densidade (massa por unidade de área ) conhecida, isto é, existe uma função positiva f definida em D tal que f ( x , y ) representa a massa por unidade de área em x , y .

Podemos calcular a massa total de D por

m   =   ∬ D f x , y d x d y

E o centro de massa é dado por ( x ' , y ' )

x ' = ∬ D x f x , y d x d y m

y ' = ∬ D y f x , y d x d y m

Para o calculo do momento de inercia da lâmina, segue que

Se L é uma reta no plano da lâmina D, seja δ ( x , y ) a distancia do ponto (x,y) em D à reta L. Defini-se momento de inercia por

I =   ∬ D δ 2 ( x , y )   f x , y d x d y

Onde f ( x , y )   é a densidade em cada ponto

Passo 2

Nossa figura tem a seguinte cara

Portanto, nossas varáveis estão definidas nos seguintes intervalos:

- 1 ≤ x ≤ 2

x 2 + 1 ≤ y ≤ x + 3

A densidade nos foi dita que é proporcional a distancia ao eixo x, logo:

f x , y = k y

a) m   =   ∫ - 1 2 ∫ x 2 + 1 x + 3 k y d y d x = 117 10 k

b)

x ' = ∬ D x f x , y d x d y m = ∫ - 1 2 ∫ x 2 + 1 x + 3 x k y d y d x 117 10 k = 63 8 k 117 k 10 = 35 52

y ' = ∬ D y f x , y d x d y m = ∫ - 1 2 ∫ x 2 + 1 x + 3 y k y d y d x 117 10 k = 4761 k 140 117 10 k = 529 182

c) I x =   ∫ - 1 2 ∫ x 2 + 1 x + 3 y 2 k y d y d x = 3033 28 k

Resposta

a) 117 10 k

b)   35 52 , 529 182

c)   3033 28 k

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