Calcule o centro de massa

Passo 1

Através da integral dupla, as coordenadas do centro de massa de um conjunto B são dadas por:

x c = ∫ ∫ B x   d m ∫ ∫ B d m

y c = ∫ ∫ B y   d m ∫ ∫ B d m

Onde o elemento de massa é dado por:

d m = δ x ,   y   d x d y

Neste caso, B é dado por:

Tal que para:

1 ≤ x ≤ 2

E

0 ≤ y ≤ 4 - x 2

Além de que, para a densidade, o produto das coordenadas é:

δ x ,   y = k x 2 + y 2

Passo 2

A massa de B é dada por:

∫ ∫ B d m = ∫ 1 2 ∫ 0 4 - x 2 k x 2 + y 2   d y d x = k ∫ 1 2 ∫ 0 4 - x 2 x 2 + y 2 d y d x

Substituindo para coordenadas polares usando:

x = ρ c o s θ e y = ρ s e n θ

Tal que

d x d y = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ = ρ d ρ d θ

Para x 2 + y 2 = 1 → ρ = 1

Para x 2 + y 2 = 4 → ρ = 2

Para 1 ≤ ρ ≤ 2 → 0 ≤ θ ≤ π

Obtém-se:

= k ∫ 0 π ∫ 1 2 ρ 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ ρ d ρ d θ

= k ∫ 0 π / 2 ∫ 1 2 ρ 2 d ρ d θ

= k ∫ 0 π ρ 3 3 | 2 1 d θ = k 3 ∫ 0 π 8 - 1 d θ

= 7 k 3 ∫ 0 π 1 d θ

Dessa forma:

= 7 k 3 θ | π 0

Substituindo o intervalo de integração:

= 7 k 3 π

Passo 3

Assim, para a coordenada x do centro de massa teremos:

∫ ∫ B x d m = ∫ 1 2 ∫ 0 4 - x 2 x k x 2 + y 2   d y d x = k ∫ 1 2 ∫ 0 4 - x 2 x x 2 + y 2 d y d x

Utilizando a mesma substituição para coordenadas polares, obtém-se:

= k ∫ 0 π ∫ 1 2 ρ c o s θ ρ 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ ρ d ρ d θ

= k ∫ 0 π c o s θ ∫ 1 2 ρ 3 d ρ d θ

= k ∫ 0 π c o s θ ρ 4 4 | 2 1 d θ = k 4 ∫ 0 π c o s θ 16 - 1 d θ

= 15 k 4 ∫ 0 π c o s θ d θ

Dessa forma:

= 15 k 4 s e n θ | π 0

Substituindo o intervalo de integração:

= 0

Passo 4

Já para a coordenada y do centro de massa teremos:

∫ ∫ B y d m = ∫ 1 2 ∫ 0 4 - x 2 y k x 2 + y 2   d y d x = k ∫ 1 2 ∫ 0 4 - x 2 y x 2 + y 2 d y d x

Utilizando a mesma substituição para coordenadas polares, obtém-se:

= k ∫ 0 π ∫ 1 2 ρ s e n θ ρ 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ ρ d ρ d θ

= k ∫ 0 π s e n θ ∫ 1 2 ρ 3 d ρ d θ

= k ∫ 0 π s e n θ ρ 4 4 | 2 1 d θ = k 4 ∫ 0 π s e n θ 16 - 1 d θ

= 15 k 4 ∫ 0 π s e n θ d θ

Dessa forma:

= 15 k 4 - c o s θ | π 0

Substituindo o intervalo de integração:

= 15 k 4 cos ⁡ 0 - cos ⁡ π = 15 k 2

Passo 5

Logo, substituindo esses resultados nas equações, o centro de massa estará localizado em:

x c = 0 7 k 3 π = 0

E

y c = 15 k 2 7 k 3 π = 45 14 π

Logo:

0 , 45 14 π

Resposta

0 , 45 14 π

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