Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = b 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = a 2 , onde 0 < a < b .

Passo 1

Podemos facilmente manipular a expressão para a esfera para deixá-la na forma f x , y = z .

z = b 2 - x 2 - y 2

Onde a região de integração será o cilindro x 2 + y 2 ≤ a note a importância 0 < a < b .

Passo 2

Para o caso de uma função ser do tipo z = f ( x , y ) a área de superfície fica.

A = ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

∂ z ∂ x 2 = ∂ ( b 2 - x 2 - y 2 ) ∂ x 2 = - 2 x . 1 2 1 b 2 - x 2 - y 2 2 = x 2 b 2 - x 2 - y 2

∂ z ∂ y 2 = ∂ ( b 2 - x 2 - y 2 ∂ y 2 = y 2 b 2 - x 2 - y 2

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = 1 + x 2 b 2 - x 2 - y 2 + y 2 b 2 - x 2 - y 2 = 1 + y 2 + x 2 b 2 - x 2 - y 2 = ( b 2 b 2 - x 2 - y 2 )

Não tem como fugir teremos que usar coordenadas polares.

Onde um elemento de área é d A = r d r d θ

E x 2 + y 2 = r 2

A = ∬ ( b 2 b 2 - x 2 - y 2 ) d A = b ∬ 1 b 2 - x 2 - y 2 d A

A = b ∬ 1 b 2 - r 2 r d r d θ onde 0 ≤ θ ≤ 2 π   ,   0 ≤ r ≤ a

A = b ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a r b 2 - r 2 d r = b . 2 π ∫ 0 a r b 2 - r 2 d r

∫ 0 a r b 2 - r 2 d r = fazendo uma substituição do tipo u = b 2 - r 2     e - d u 2 = r d r

∫ 0 a r b 2 - r 2 d r = 1 2 ∫ b 2 b 2 - a 2 - d u u = - 2 2 u 1 2 | b 2 b 2 - a 2 = ( b 2 - b 2 - a 2 )

Assim A fica

A = 2 π b ( b - b 2 - a 2 )

Note que precisamos contabilizar a parte inferior também da nossa esfera, ou seja

A = 4 π b b - b 2 - a 2

Resposta

A = 4 π b ( b - b 2 - a 2 )

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