Enunciado

Calcule a área da região limitada pelo astroide x = a * cos 3 ⁡ θ ,   y = a * s e n 3 θ   (Os astroides foram explorados no Projeto de Laboratório na página 597).

Passo 1

A primeira coisa que temos que colocar em mente quando fizermos exercícios de área é o intervalo que queremos. Então como estamos trabalhando com equações paramétricas a nossa variável independente de dentro da função é a que precisamos para definir o intervalo.

Nesse caso o astroide vai de - a   até a   então substituiremos esses valores de x, isolando θ :

Se x = - a

- a a = cos 3 ⁡ θ  

- 1 = cos 3 ⁡ θ

- 1 = c o s θ

θ = π

Se x = a

1 = cos 3 ⁡ θ

θ = 0

Passo 2

Agora que já encontramos os intervalos podemos nos focar em resolver a integral. Mas antes disso vamos definir os valores que usaremos em função de θ :

Sabendo que a área é definida por ∫ y   d x , precisamos definir d x :

x = a cos 3 ⁡ θ

d x = - 3 a cos 2 ⁡ θ s e n θ

Passo 3

Tendo tudo definido podemos nos divertir com a integral:

A = ∫ π 0 a s e n 3 θ - 3 a cos 2 ⁡ θ s e n θ   d θ

A = ∫ π 0 - 3 a 2 s e n 4 θ cos 2 ⁡ θ   d θ

Tirando o que for constante pra fora pra não nos confundirmos:

A = - 3 a 2 ∫ π 0 s e n 4 θ cos 2 ⁡ θ   d θ

Para continuar nossa resolução precisamos lembrar de duas relações:

s e n 2 x = 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x

e

cos 2 ⁡ x = 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 x

Substituindo então na integral:

A = - 3 a 2 ∫ π 0 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 θ 2 ( 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 θ )   d θ

Vamos chamar 1 2 de a e 1 2 c o s ⁡ 2 θ de b . O que temos dentro do integrando é

a - b 2 a + b = a - b a - b a + b = a - b a 2 - b 2

= a 3 - a b 2 - b a 2 + a 3

Então a nossa integral fica

A = - 3 a 2 ∫ π 0 ( 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 θ ) ( 1 4 - 1 4 cos 2 ⁡ 2 θ ) d θ

A = - 3 a 2 ∫ π 0 1 8 - 1 8 cos 2 ⁡ 2 θ - 1 8 c o s 2 θ + 1 8 cos 3 ⁡ 2 θ d θ

Substituindo novamente cos 2 ⁡ 2 θ   pela relação sempre lembrando que o ângulo dobra:

A = - 3 a 2 ∫ π 0 1 8 - 1 8 ( 1 2 + 1 2 cos ⁡ 4 θ ) ⁡ - 1 8 c o s 2 θ + 1 8 cos ⁡ 2 θ ( 1 2 + 1 2 cos ⁡ 4 θ ) d θ

A = - 3 a 2 ∫ π 0 1 8 - 1 16 - 1 16 cos ⁡ 4 θ ⁡ - 1 8 c o s 2 θ + 1 16 cos ⁡ 2 θ + 1 16 cos ⁡ 2 θ   c o s 4 θ d θ

Ajeitando a integral:

A = - 3 a 2 ∫ π 0 1 16 - 1 16 cos ⁡ 4 θ ⁡ - 1 16 c o s 2 θ + ⁡ 1 16 cos ⁡ 2 θ   c o s 4 θ   d θ

Passo 4

Bom, nos deparamos com outro probleminha que precisaremos novamente de uma relação. Nem sempre elas vão estar na ponta da língua, então quanto mais usarmos em exercícios desse tipo melhor.

cos ⁡   a cos ⁡ b = 1 2 cos ⁡ a - b + 1 2 c o s ⁡ ( a + b )

A = - 3 a 2 ∫ π 0 1 16 - 1 16 cos ⁡ 4 θ ⁡ - 1 16 c o s 2 θ + ⁡ 1 16 1 2 ( cos ⁡ 2 θ + c o s 6 θ )   d θ

A = - 3 a 2 ∫ π 0 1 16 - 1 16 cos ⁡ 4 θ ⁡ - 1 16 c o s 2 θ + ⁡ 1 32 cos ⁡ 2 θ + 1 32 c o s ⁡ ( 6 θ )   d θ

A = - 3 a 2 ∫ π 0 1 16 - 1 16 cos ⁡ 4 θ ⁡ - ⁡ 1 32 cos ⁡ 2 θ + 1 32 c o s ⁡ ( 6 θ )   d θ

Agora que temos tudo simplificado podemos resolver as integrais, lembrando que o numero de dentro do argumento passa multiplicando no denominador:

A = - 3 a 2 [ θ 16 - 1 64 sen ⁡ 4 θ ⁡ - ⁡ 1 64 sen ⁡ 2 θ + 1 192 s e n ⁡ ( 6 θ ) ] 0 π    

A = - - 3 a 2 π 16

Resposta

A = 3 a 2 π 16  

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Esboce a curva e calcule a área limitada por elar^2 = 4 cos 2 theta