Enunciado

Determine a área de superfície.

A superfície com equações paramétricas x = u v . y = u + v , z = u - v , u 2 + v 2 ≤ 1

Passo 1

Para calcular a área de superfície, temos que:

r u = v , 1,1 e r v = u , 1 , - 1

E fazendo:

r u × r v = - 2 , u + v , v - u

Passo 2

Então, agora podemos calcular a integral dupla para encontrar a área de superfície desejada:

A S = ∬ u 2 + v 2 ≤ 1 4 + 2 u 2 + 2 v 2 d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 4 + 2 r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 r 4 + 2 r 2 d r

⇒ A S = 2 r 1 6 4 + 2 r 2 3 / 2 0 1 = π 3 6 6 - 8 = π 2 6 - 8 3

Resposta

π 2 6 - 8 3

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Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: i )f x , y , z = z 1 + 4 x 2 + 4 y 2 ;σ é a parte do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 que se encontra dentro do cilindro x 2 + y 2 ≤ 2 y .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: c )f x , y , z = x 2 + y 2 ;σ u , v = u , v ,u 2 + v 2 ,u 2 + v 2 ≤ 1 .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: f x , y , z = x y ;σ u , v = u - v , u +v ,2 u + v + 1 ,0 ≤ u ≤ 1e0 ≤ v ≤ u .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: d )f x , y , z = y ;σ u , v = u , v , 1 - u 2 ,0 ≤ u ≤ 1 ; 0 ≤ v ≤ u .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: d )f x , y , z = x 2 + y 2 ;σ a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,z ≥ 1 . (Fica entendido aqui que σ é a parametrização mais “natural” do conjunto dado).