Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_D^() (4 y)/(x^3 + 2) d A , D = {(x , y)| 1 <= x <= 2 , 0 <= y <= 2 x }

Passo 1

Galera, primeiro vamos escrever a integral na forma de integral dupla, ficando com:

int_1^2 int_0^(2 x) (4 y)/(x^3 + 2) d y d x

Lembrando que, como y está dependendo de x ele tem que ficar na integral de dentro, se não no final das contas a gente vai ficar com uma coisinha dependendo do x e não queremos isso hehe

Passo 2

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, então vamos focar só na de dentro! Lembrando que tudo que não depender de y pode ser considerado como constante

int_0^(2 x) (4 y)/(x^3 + 2) d y

(1)/(x^3 + 2) int_0^(2 x) 4 y d y

Essa integral já ta com uma cara mais tranquilinha né? Vamos partir pra cima dela então!

(1)/(x^3 + 2) * [ 2 y^2 ]_0^(2 x)

Ai ficamos com

(8 x^2)/(x^3 + 2)

Passo 3

Agora, é só pegar esse resultado e aplicar na integral de fora:

int_1^2 ((8 x^2)/(x^3 + 2)) d x

Vamos usar a famosa substituição simples

u = x^3 + 2

d u = 3 x^2 d x

Então ficamos com

8 int_()^() ((1)/(u)) (d u)/(3)

Resolvendo essa integral temos

(8)/(3) ln (u)

E como u = x^3 + 2

= [8 (ln (x^3 + 2))/(3)]_1^2 = (8)/(3) (ln 10 - ln 3)

E podemos ajeitar para ficar com

(8)/(3) ln ((10)/(3))

Tá beleza?

Resposta

(8)/(3) ln ((10)/(3))

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