Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo:

c) f(x, y, z) = x^2 + y^2; sigma(u, v) = (u, v, u^2 + v^2), u^2 + v^2 <= 1.

Passo 1

A gente tem que fazer:

∬ K f σ u , v ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v d u d v

Vamos começar fazendo as derivadas parciais:

∂ σ ∂ u = 1,0 , 2 u

∂ σ ∂ v = 0,1 , 2 v

Fazendo o produto vetorial agora:

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v =   i → j → k → 1 0 2 u 0 1 2 v

= i → 0 2 u 1 2 v - j → 1 2 u 0 2 v + k → 1 0 0 1

= - 2 u i → -   j → 2 v + k → ( 1 )

= - 2 u i → - 2 v j → + 1 k →

Passo 2

Agora a gente faz a norma disso pra aplicar na fórmula:

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v = - 2 u 2 + - 2 v 2 + ( 1 ) 2 = 4 u 2 + 4 v 2 + 1

Prontinho! Agora a gente joga tudo na fórmula:

∬ K ( u 2 + v 2 ) 4 u 2 + 4 v 2 + 1   d u d v

Vamos passar esse pra coordenadas polares, vai ficar:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ 2 4 ρ 2 + 1 ρ   d ρ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ 3 4 ρ 2 + 1 d ρ d θ

Passo 3

Integrando em ρ , a gente fica com:

∫ 0 2 π 6 ρ 2 - 1 4 ρ 2 + 1 3 2 120 0 1 d θ

∫ 0 2 π 5 5 3 2 120 - - 1 1 120 d θ

25 5 120 + 1 120 0 2 π

= π 60 25 5 + 1

E pronto!

Resposta

π 60 25 5 + 1

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