Enunciado

Determine as áreas das regiões compreendidas entre as retas e as curvas nos Exercícios 73-80.

73. x = 2 y 2 ,   x = 0   e   y = 3

Passo 1

Inicialmente, o que precisamos fazer é plotar esses gráficos para determinarmos as regiões compreendidas entre eles, ok? Se plotarmos os gráficos, teremos:

No qual a função em verde é x = 2 y ² e a função em azul é y = 3 . Assim como discutido na seção 6 do George, os intervalos de integração para uma f ( y ) são [ c ,   d ] , que são intervalos verticais (em y ), não mais horizontais (em x ). Sabendo dessas informações, nosso problema fica bem mais tranquilo! Então bora lá!

Passo 2

Para calcularmos a área de uma região em relação à y , assim como discutido na seção 6 do George, o que precisamos descobrir é quais são as curvas à direita e à esquerda. Depois de descoberto isso, basta fazermos:

∫ c d f y - g y d y

Onde, nesse caso, f ( y ) seria a curva à direita e g ( y ) seria a curva à esquerda.

Aplicando esse raciocínio, teremos:

A = ∫ 0 3 2 y 2 - 0 d y

Para resolvermos essa integral precisaremos utilizar a seguinte regra:

∫ u n d u = u n + 1 n + 1

Então:

A = 2 3 y 3 3 0

∴ A = 18   ( u . a )

Resposta

18   ( u . a )

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