Enunciado

Determine as áreas das regiões compreendidas entre as retas e as curvas nos Exercícios 85-92.

85. y = 2 s e n   x   e   y = s e n   2 x ,   0 ≤ x ≤ π

Passo 1

Inicialmente, o que precisamos fazer é plotar esses gráficos para determinarmos as regiões compreendidas entre eles, ok? Se plotarmos os gráficos, teremos:

No qual a função em verde é y = 2 s e n   ( x ) e a função em azul é y = s e n   ( 2 x ) . Uma vez plotados, o que precisamos descobrir é a área dessa rachura aí, certo? Para descobrirmos isso, temos que descobrir os pontos em que as funções se encontram, e é aqui que surge um trabalho mais sério, se liga!

Passo 2

Temos que descobrir os pontos em que as funções se encontram para sabermos quais serão os limites de integração da nossa integral, galera! Para descobrirmos, basta igualarmos as duas funções, olha só:

s e n   2 x = 2 s e n   x

É bem tranquilo notarmos que o ponto em que são iguais no intervalo 0 ≤ x ≤ π é exatamente nesses pontos [ 0 ,   π ] .

Passo 3

Para calcularmos a área de uma região, assim como discutido na seção 6 do George, o que precisamos descobrir é quais são as curvas superiores e inferiores. Depois de descoberto isso, basta fazermos:

∫ a b f x - g x d x

Onde, nesse caso, f ( x ) seria a curva superior e g ( x ) seria a curva inferior.

Se observarmos a figura do passo 1, notaremos que a curva superior é y = 2 . s e n   ( x ) e a curva inferior é y = s e n   ( 2 x ) . Escrevendo nossa integral, teremos:

A = ∫ 0 π 2 s e n   x - s e n   2 x d x

A = 2 ∫ 0 π s e n   x d x - ∫ 0 π s e n   2 x d x

Para as duas integrais, temos que pensar no que vimos lááá em derivação! Quais funções que quando derivadas, resultam em s e n   ( x ) e s e n   ( 2 x ) ? São as funções - cos ⁡ x e - 1 2 cos ⁡ 2 x . Sendo assim:

A = 2 - cos ⁡ x π 0 + 1 2 cos ⁡ 2 x π 0

∴ A = 4   ( u . a )

Resposta

A = 4   ( u . a )

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