Enunciado

19-26.

Use um recurso gráfico computacional, quando necessário, para encontra a região englobada pelas curvas.

22. y = x 3 - 4 x ,   y = 0

Passo 1

Vamos começar falando a fórmula que vamos usar nessa questão e lembrando que depois, teremos que fazer o esboço das curvas!

Essa fórmula é a 6.1.2 Fórmula para a área

Se f e g forem contínuas no intervalo [ a , b ] e se f ( x ) ≥ g ( x ) em cada x de [ a , b ] , então a área da região limitada acima por y = f ( x ) , abaixo por y = g ( x ) , à esquerda pela reta x = a e à direita pela reta x = b é

A = ∫ a b f x - g ( x ) d x

Passo 2

Vamos começar desenhando nosso gráfico para assim vermos como a região é delimitada!

Vamos igualar a função y = x 3 - 4 x a outra função y = 0 e assim descobrirmos os pontos em que essa função toca o eixo x .

x 3 - 4 x = 0

x x 2 - 4 = 0

x = 0

x = 2

x = - 2

Temos que descobrir a as áreas das regiões pintadas!

A primeira região, que está em roxo, é delimitada à direita por x = 0 e à esquerda é delimitada por x = - 2 , acima é delimitada pela função y = x 3 - 4 x e abaixo por y = 0 .

Botando nos termos da integral, temos:

f x = x 3 - 4 x 2 + 3 x

g x = 0

b = 1

a = 0

Montando a integral da primeira área, temos:

A 1 = ∫ - 2 0 x 3 - 4 x - 0 = ∫ - 2 0 x 3 - 4 x

Agora vamos calcular a segunda área.

A segunda região, que está em azul, é delimitada à direita por x = 2 e à esquerda é delimitada por x = 0 , acima é delimitada pela função y = 0 e abaixo por y = x 3 - 4 x .

Botando nos termos da integral, temos:

f x = 0

g x = x 3 - 4 x

b = 2

a = 0

Montando a integral da segunda área, temos:

A 2 = ∫ 0 2 0 - x 3 - 4 x = ∫ 0 2 - x 3 + 4 x

Agora somando essas duas áreas para calcular a área total, temos:

A = A 1 + A 2

A = ∫ - 2 0 x 3 - 4 x + ∫ 0 2 - x 3 + 4 x

Passo 3

Paramos na expressão da integral, então voltaremos dela!

A = ∫ - 2 0 x 3 - 4 x + ∫ 0 2 - x 3 + 4 x

Vamos fazer a primeira integral, então:

∫ - 2 0 x 3 - 4 x = x 4 4 - 4 x 2 3 0 - 2 = 0 - 4 ( 0 ) - 16 4 - 16 3 = 0 - - 16 12 = 16 12 = 4 3

Agora faremos a segunda!

∫ 0 2 - x 3 + 4 x = - x 4 4 + 4 x 2 2 2 0 = - 16 4 + 4 4 2 - - 0 4 + 4 0 2 = - 4 + 8 = 4

Somando as duas áreas, temos:

A = 4 3 + 4 = 16 3

Resposta

A = 16 3

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