Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule a convergente

∫ 0 9   1 x - 1 3   d x

Passo 1

Opa! Bora resolver esse problema, o enunciado nos da essa integralzinha aqui:

∫ 0 9   1 x - 1 3   d x

Temos que responder se ela é convergente ou divergente e se ela for convergente temos que calcula-la!

Não tem infinito nos limites de integração, então de cara podemos descartar a possibilidade dela ser integral imprópria do tipo 1. Vamos investigar seu domínio então. Devemos ter:

x - 1 ≠ 0

x - 1 > 0

Afinal não podemos ter denominador igual a zero nem raiz negativa! Devemos ter então:

x > 1

Poxa, mas a integração vai de x = 9 até x = 0 , então a função não é contínua dentro do limite de integração. Ela vai ser uma integral imprórpeia do tipo 2!

Nesse caso podemos dividir a integral da seguinte forma:

∫ 0 9   1 x - 1 3   d x =   ∫ 0 1   1 x - 1 3   d x +   ∫ 1 9   1 x - 1 3   d x

Agora temos duas integrais, uma com descontinuidade no limite superior e outra no inferior. Por definição temos que:

∫ a b f ( x ) d x = lim t → b - ⁡ ∫ a t f ( x ) d x

Para descontinuidades no limite superior. Quando a descontinuidade é no limite inferior temos:

∫ a b f ( x ) d x = lim t → a + ⁡ ∫ t b f ( x ) d x

Então: ∫ 0 9   1 x - 1 3   d x =   lim t → 1 - ⁡ ∫ 0 t 1 x - 1 3   d x +   lim t → 1 + ⁡ ∫ t 9 1 x - 1 3 d x

Passo 2

Vamos calcular a integral:

∫ 1 x - 1 3   d x

Depois aplicar os limites de integração e avaliar os limites! Podemos começar reescrevendo a função:

∫ x - 1 - 1 3   d x

Agora conseguimos visualizar uma função portência composta. Vamos resolver por substituição simples, fazendo:

u = x - 1

d u d x = 1 → d x = d u

Substituindo:

∫ x - 1 - 1 3   d x = ∫ u - 1 3   d u

Aplicando a regra da potência:

∫ u - 1 3   d u = u - 1 3 + 1 - 1 3 + 1 = 3 2 u 2 3

Voltando a variável original:

3 2 u 2 3 = 3 2 x - 1 2 3

Portantanto:

∫ x - 1 - 1 3   d x = 3 2 x - 1 2 3

Passo 3

Agora vamos aplicar o limite de integração para a primeira integral:

lim t → 1 - ⁡ ∫ 0 t 1 x - 1 3   d x = l i m t → 1 - 3 2 x - 1 2 3 0 t

Aplicando:

l i m t → 1 - 3 2 x - 1 2 3 0 t = l i m t → 1 - 3 2 t - 1 2 3 - 3 2 0 - 1 2 3

= l i m t → 1 - 3 2 t - 1 2 3 - 3 2 = - 3 2

Agora vamos olhar a segunda integral:

lim t → 1 + ⁡ ∫ t 9 1 x - 1 3 d x = l i m t → 1 + 3 2 x - 1 2 3 9 t

Aplicando:

l i m t → 1 + 3 2 x - 1 2 3 9 t = l i m t → 1 + 3 2 t - 1 2 3 - 3 2 9 - 1 2 3

= l i m t → 1 - 3 2 × 4 - 3 2 t - 1 2 3 = 6

Somando os limites:

= - 3 2 + 6 = 9 2

Portanto:

∫ 0 9   1 x - 1 3   d x = 9 2

A nossa integral é convergente!

Resposta

Converge para 9 2

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