Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ - ∞ ∞ x 1 + x 2 d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 1:

∫ - ∞ ∞ x 1 + x 2 d x = ∫ - ∞ 0 x 1 + x 2 d x + ∫ 0 ∞ x 1 + x 2 d x

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Usando a Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 1 novamente:

∫ - ∞ 0 x 1 + x 2 d x = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 x 1 + x 2 d x

∫ 0 ∞ x 1 + x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x 1 + x 2 d x

Bem, para achar o valor dessas integrais vamos calcular as integrais indefinidas delas e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos calcular essa integral:

∫ - ∞ 0 x 1 + x 2 d x = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 x 1 + x 2 d x

Vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição.

u = 1 + x 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 + 2 x   d x = 2 x d x →   x d x = d u 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x 1 + x 2 d x = ∫ 1 2 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Vamos aplicar:

∫ x 1 + x 2 d x = ∫ 1 2 u d u = 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ u + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 1 + x 2 d x = 1 2 ln ⁡ u + C = 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ - ∞ 0 x 1 + x 2 d x = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 x 1 + x 2 d x = lim t → - ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 t 0 = lim t → - ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 1 + 0 2 - 1 2 ln ⁡ 1 + t 2 = lim t → - ∞ ⁡ 0 - 1 2 ln ⁡ 1 + t 2 = - ∞

Já podemos dizer que a integral diverge, pois o limite não existe, não é necessário calcular a outra integral.

Resposta

A integral diverge.

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Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. ∫ - ∞ 0 x5 - x 2 d x
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