Enunciado

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ - ∞ ∞ 3 x 3 x 2 + 2 3   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral imprópria e verificar se ele converge. Neste caso, o limite é infinito nos dois extremos, assim, temos que

∫ - ∞ ∞ 3 x 3 x 2 + 2 3   d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 3 x 3 x 2 + 2 3   d x + lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b 3 x 3 x 2 + 2 3   d x

Para que a integral seja convergente, os dois limites devem existir! Os dois hein, não apenas um!

Já que vamos precisar da primitiva para os dois limites, vamos calcular

I = ∫ 3 x 3 x 2 + 2 3   d x

Passo 2

Para achar I , vamos fazer a substituição t = 3 x 2 + 2 . Assim, d t = 6 x   d x :

I = 1 2 ∫ 1 t 3 d t = 1 2 ∫ t - 3   d t = - 1 4 t - 2 = - 1 4 t 2

Portanto,

I = - 1 4 3 x 2 + 2 2

Assim,

∫ a 0 3 x 3 x 2 + 2 3   d x = - 1 4 1 3 x 2 + 2 2 a 0 = - 1 4 1 4 - 1 3 a 2 + 2 2

E

∫ 0 b 3 x 3 x 2 + 2 3   d x = - 1 4 1 3 b 2 + 2 2 - 1 4

Passo 3

Agora temos que fazer a → - ∞ e b → ∞ . Note que podemos fazer o seguinte:

∫ - ∞ ∞ 3 x 3 x 2 + 2 3   d x = lim a → - ∞ ⁡ - 1 4 1 4 - 1 3 a 2 + 2 2 + lim b → ∞ ⁡ - 1 4 1 3 b 2 + 2 2 - 1 4

Assim,

∫ - ∞ ∞ 3 x 3 x 2 + 2 3   d x = - 1 16 + 1 16 + lim a → - ∞ ⁡ 1 4 3 a 2 + 2 2 - lim b → ∞ ⁡ 1 4 3 b 2 + 2 2

Eu sei que antes de calcular os limites você é tentado a dizer que eles são iguais e cortar os dois dizendo que a integral converge: cuidado, não é assim que as coisas funcionam! E se os limites não existissem? Você teria cortado os dois e diria que a integral seria convergente, mas ela não seria pois os limites não existiriam! Lembre-se sempre, em casos assim, os dois limites devem existir para a integral ser considerada convergente!

Note que nos dois casos o limite tende a 0 , de modo que sim, a integral será convergente:

∫ - ∞ ∞ 3 x 3 x 2 + 2 3   d x = - 1 16 + 1 16 = 0

Resposta

0

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