Enunciado

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F = ∇ f

F x , y , z = x y z 2   i + x 2 y z 2   j + x 2 y 2 z   k

Passo 1

Vamos comprovar isso pelo rotacional. Se r o t   F ≠ 0 , F não é conservativo, então vamos calcular o rotacional

r o t   F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x y z 2 x 2 y z 2 x 2 y 2 z

= ∂ ∂ y x 2 y 2 z - ∂ ∂ z x 2 y z 2 i - ∂ ∂ x x 2 y 2 z - ∂ ∂ z x y z 2 j + ∂ ∂ x x 2 y z 2 - ∂ ∂ y x y z 2 k

= 2 x 2 y z - 2 x 2 y z i - 2 x y 2 z - 2 x y z j + 2 x y z 2 - x z 2 k

r o t   F = 0 i + 2 x y z - 2 x y 2 z j + 2 x y z 2 - x z 2 k

Como r o t   F ≠ 0 então F não é conservativo.

Resposta

F não é conservativo.

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