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Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart - Capítulo 16.3 - Ex. 24

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A partir do gráfico de F você diria que ele é conservativo? Verifique se seu palpite estava correto.

F x , y , = 2 x y + sen ⁡ y i + x 2 + x cos ⁡ y   j

Passo 1

Seja F x , y = P x , y i + Q x , y j . Para checarmos se esse campo vetorial é conservativo, basta verificarmos se:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

E é isso o que precisamos fazer.

Entretanto, antes disso, vamos começar esboçando o nosso campo vetorial e tentar analisar se ele será conservativo ou não. Sendo assim, vejamos o campo vetorial abaixo.

É esperado que o campo seja conservativo, pois podemos desenhar várias curvas fechadas e não haverá uma direção preferencial dos vetores em relação a direção da curva.

Passo 2

Agora, vamos verificar se nosso palpite está certo ou não. Basta calcularmos as derivadas parciais conforme dita no Passo 1. Logo, temos:

∂ P ∂ y = 2 x + cos ⁡ y

∂ Q ∂ x = 2 x + cos ⁡ y

Como

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Temos que o campo F é conservativo! E assim, confirmamos a nossa hipótese.

Resposta

O campo é conservativo.

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