Enunciado

Determine o campo vetorial gradiente f .

f (x , y) = cos (x) - 2 s i n ( y )

Passo 1

Para determinarmos o campo vetorial, devemos tomar o gradiente da função f , ou seja,

vec F = grad f

Lembrando que o gradiente de uma função é definido por um vetor, cujas as componentes são as derivadas parciais em cada direção, ou seja

vec F = ((del f)/(d x) , (del f)/(d y))

Passo 2

Vamos tomar inicialmente a derivada de f na direção x .

(del f)/(d x) = (del (cos (x) - 2 s i n ( y )))/(d x) = - s i n ( x )

E na direção y temos

(del f)/(d y) = (del (cos (x) - 2 s i n ( y )))/(d y) = - 2 c o s ( y )

Desta forma escrevemos que

vec F = (- sin (x) , - 2 c o s ( y ))

Passo 3

Uma representação do campo é dada pela figura a cima.

O gráfico que representa o vetor gradiente e as curvas de níveis são perpendiculares entre si. Temos também que o vetor gradiente aponta na direção de f .

Resposta

vec F = (- sin (x) , - 2 c o s ( y ))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o campo vetorial F → , desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 . F → x , y = 1 i → + x j →
Esboce o campo vetorial F → , desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 . F → x , y = x k →
Esboce o campo vetorial F → , desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 . F → x , y = y x 2 + y 2 i → - x x 2 + y 2 j →
Esboce o campo vetorial F → , desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 . F → x , y = k →
Esboce o campo vetorial F → , desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 . F → x , y = j → - i →