Determine o centro de massa do hemisfério , , se ele tiver densidade constante.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado quer que a gente calcule o centro de massa do hemisfério , considerando e a densidade constante.
Pra calcular o centro de massa, devemos calcular as integrais dos momentos em relação ao plano () e da massa , porque o centro de massa vai ser dado pela razão entre essas duas variáveis.
Vamos por partes?
Passo 2
Por simetria, podemos dizer que , pois é um hemisfério simétrico em torno do eixo . Então, as coordenadas dos centro de massa e devem ser zero:
O centro de massa estará no eixo , ou seja, o centro de massa é .
Então, só nos resta calcular e .
Passo 3
A massa de um corpo com densidade constante é dada por:
O volume () de um hemisfério de raio é metade do volume de uma esfera:
Então, a massa vai ser:
Passo 4
O momento em relação ao plano (necessário para encontrar ) é dado pela integral tripla:
Onde é constante. Nós usaremos coordenadas esféricas para simplificar a integral:
Onde aqui é o raio esférico, não a densidade.
Para o hemisfério , , temos o raio:
O ângulo polar:
Para . E o ângulo azimutal:
Então, a integral do momento (usando para a densidade e para a coordenada esférica), vai ficar:
Agrupando as variáveis:
Passo 5
Vamos calcular as integrais separadamente.
Integrando em relação a , vamos ter:
Agora integrando em relação a :
E usando a substituição e , calculamos a última integral:
Combinando os resultados, teremos:
Logo,
Passo 6
O centro de massa é dado por:
Substituindo os valores que encontramos:
Fazendo a divisão de frações:
Simplificando, temos:
Logo,
Então, o centro de massa do hemisfério , , com densidade constante, é:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉