Determine o centro de massa do hemisfério x^2 + y^2 + z^2 = a^2 , z >= 0 , se ele tiver densidade constante.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado quer que a gente calcule o centro de massa do hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , considerando z ≥ 0 e a densidade constante.

Pra calcular o centro de massa, devemos calcular as integrais dos momentos em relação ao plano ( M x z , M y z ,   M x y ) e da massa m , porque o centro de massa vai ser dado pela razão entre essas duas variáveis.

Vamos por partes?

Passo 2

Por simetria, podemos dizer que M y z = M x z = 0 , pois é um hemisfério simétrico em torno do eixo z . Então, as coordenadas dos centro de massa x e y devem ser zero:

x - = 0

y - = 0

O centro de massa estará no eixo z , ou seja, o centro de massa é x - ,   y - ,   z - = 0 ,   0 ,   z - .

Então, só nos resta calcular M x y e m .

Passo 3

A massa de um corpo com densidade constante ρ é dada por:

m = ρ V

O volume ( V ) de um hemisfério de raio a é metade do volume de uma esfera:

V = 1 2 4 3 π a 3 = 2 3 π a 3

Então, a massa m vai ser:

m = ρ 2 3 π a 3

Passo 4

O momento em relação ao plano x y (necessário para encontrar   z - ) é dado pela integral tripla:

M x y = ∭ V z ρ d V

Onde ρ é constante. Nós usaremos coordenadas esféricas para simplificar a integral:

x = ρ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ z = cos ⁡ ϕ d V = ρ 2 sin ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Onde ρ aqui é o raio esférico, não a densidade.

Para o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 , z ≥ 0 , temos o raio:

0 ≤ ρ e s f ≤ a

O ângulo polar:

0 ≤ ϕ ≤ π 2

Para z ≥ 0 . E o ângulo azimutal:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Então, a integral do momento (usando ρ para a densidade e ρ e s f para a coordenada esférica), vai ficar:

M x y = ρ ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 a ρ e s f cos ⁡ ϕ ⋅ ρ e s f 2 sin ⁡ ϕ d ρ e s f d ϕ d θ

Agrupando as variáveis:

M x y = ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 a ρ e s f 3 d ρ e s f

Passo 5

Vamos calcular as integrais separadamente.

Integrando em relação a θ , vamos ter:

∫ 0 2 π d θ = θ 0 2 π

= 2 π

Agora integrando em relação a ρ e s f :

∫ 0 a ρ e s f 3 d ρ e s f = ρ e s f 4 4 0 a

= a 4 4

E usando a substituição u = sin ⁡ ϕ e d u = cos ⁡ ϕ d ϕ , calculamos a última integral:

∫ 0 π / 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ = ∫ 0 1 u d u

= u 2 2 0 1 = 1 2

Combinando os resultados, teremos:

M x y = ρ ⋅ 2 π ⋅ 1 2 ⋅ a 4 4

Logo,

M x y = ρ π a 4 4

Passo 6

O centro de massa   z - é dado por:

z - = M x y m

Substituindo os valores que encontramos:

z - = ρ π a 4 4 ρ 2 3 π a 3

Fazendo a divisão de frações:

z - = ρ π a 4 4 ⋅ 3 2 ρ π a 3

Simplificando, temos:

z - = a 4 ⋅ 3 2

Logo,

z - = 3 a 8

Então, o centro de massa x - , y - ,   z - do hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , z ≥ 0 , com densidade constante, é:

C e n t r o   d e   m a s s a = 0 ,   0 , 3 a 8

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0 ,   0 , 3 a 8

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