Enunciado

Se R = - 1,3   × [ 0,2 ] , use a soma de Riemann com m = 4 , n = 2 para estimar o valor de ∬ R y 2 - 2 x 2   d A . Tome os pontos amostrais como os cantos inferiores esquerdos dos sub-retângulos.

Passo 1

A questão pede usarmos uma soma de Riemann para estimar a integral. Primeiro vamos particionar os intervalos. O intervalo em x será particionado em quatro partes:

x 1 = - 1 , x 2 = 0 ,   x 3 = 1   e   x 4 = 2

Para y , temos

y 1 = 0   e   y 2 = 1

Escolhi como pontos de referência o começo dos intervalos pois a questão pede para tomarmos como pontos amostrais os cantos inferiores esquerdos. Além disso, como o passo em ambas as direções é 1 , a área dos sub-retângulos será Δ A = 1 ⋅ 1 = 1 .

A soma de Riemann será

∑ i = 1 4 ∑ j = 1 2 f x i , y j   Δ A = ∑ i = 1 4 ∑ j = 1 2 f x i , y j   ⋅ Δ A = ∑ i = 1 4 ∑ j = 1 2 f x i , y j   ,

onde f x , y = y 2 - 2 x 2 .

Passo 2

Uma forma rápida de fazer essa somatória dupla é construir uma tabela com os valores da função nos pontos amostrais e daí somamos todos os pontos da tabela:

Somando todos os pontos da tabela:

∑ i = 1 4 ∑ j = 1 2 f x i , y j   = - 2 - 2 - 8 - 1 + 1 - 1 - 7 = - 20

Assim,

∬ R y 2 - 2 x 2   d A ≈ - 20

Resposta

- 20

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