Enunciado

Centroide Encontre o centroide da região delimitada superiormente pela superfície z = 2r, dos lados pelo cilindro r = 4

e inferiormente pelo plano xy

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Nosso objetivo nesta questão é calcular o centro de massa de um sólido em coordenadas cilíndricas. Vamos aplicar os mesmo conceitos e fórmulas utilizados em coordenadas cartesianas. Já sabemos que para calcular o centro de massa precisaremos da massa e dos momentos em relação aos planos coordenados.Temos uma região limitada acima pela superfície z = r e abaixo pelo plano x y . E sabemos que um cilindro r = 4 limita os lados do sólido.

Passo 2

Vamos definir os limitantes das integrais? Veja como fazer.O intervalo de r é definido pela equação do cilindro:

0 ≤ r ≤ 4

O intervalo de z é definido pela superfície z = r , então:

0 ≤ z ≤ r

Por fim, temos o ângulo θ com o intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Qual o próximo passo? Calcular a massa do sólido com densidade igual a 1 em coordenadas esféricas:

M   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 4     ∫ 0 r     d z r d r d θ   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 4     r 3 / 2 d r d θ   = 64 5 ∫ 0 2 π     d θ   = 128 π 5

Passo 4

Os primeiros momentos em relação aos planos coordenados são:

M x y   = ∫ 0 2 π     ∫ 0 4     ∫ 0 r     z d z r d r d θ   = 1 2 ∫ 0 2 π     ∫ 0 4     r 2 d r d θ   = 32 3 ∫ 0 2 π     d θ   = 64 π 3

O centroide do sólido ( x ‾ , y ‾ , z ‾ ) está sobre o eixo de simetria, isso faz com que x ‾ = y ‾ = 0 .Para z ‾ , dividiremos o primeiro momento M x y pela massa.

z ‾   = M x y M   = 5 6

Resposta

Portanto teremos o ponto 0,0 , 5 6 como centro de massa do sólido nesta questão.

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