Enunciado

Determine o centro de massa da região A dada por 4 x 2 + y 2 ≤ 4 , y ≥ 0 . (Sugestão: Para o cálculo de x c aproveite a simetria da figura.)

Passo 1

Primeiramente, temos a metade de uma elipse, cortada em x . Portanto, de cara, o centro de massa de x c = 0 . Agora, para o centro de massa em y , vamos utilizar o teorema de papus, primeiramente calculando o volume do solido de rotação em x , portanto temos que:

f x =   4 - 4 x 2 = 2 1 - x 2

Portanto,

V x = π ∫ - 1 1 4 1 - x 2 d x = 8   π 1 - 1 3 = 16 3   π

Finalmente,

y c = V x 2 π A

Lembrando que a área da elipse é π a b → A = 1 2 π   1 * 2 = π

y c = 16 3   π 2 π 2 = 8 3 π

Resposta

y c = 8 3 π

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Determine a área total da região delimitada pela curva y = 2 ln ⁡ x x e o eixo x de x = 1 até y = e .
Determine a área total da região delimitada pela curva x = y 2 3 e pelas retas x = y e y = - 1 .
Determine os valores extremos de f x = x 3 - 3 x 2 e a área da região delimitada pelo gráfico de f e pelo eixo x .
Ache o centroide da região x = 1 a x = π 2 , limitada pela curva y = c o s x e pelo eixo x.
Ache o centroide da região limitada pelo eixo y e pelas curvas y = s e nx - cos ⁡ x e y = s e nx + cos ⁡ x de x = 0 a x = π 2 .