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∫ x 3 + 4 x 2 + 6 x + 1 x 3 + x 2 + x - 3 d x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado quer que a gente calcule a integral:

∫ x 3 + 4 x 2 + 6 x + 1 x 3 + x 2 + x - 3 d x

Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador, a gente vai precisar fazer um divisão de polinômios aqui. Depois, vamos decompor o nosso resultado em frações parciais, pra conseguir integrar mais facilmente cada uma dessas frações.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar dividindo os polinômios:

x 3 + 4 x 2 + 6 x + 1 x 3 + x 2 + x - 3 = x 3 + x 2 + x - 3 + 3 x 2 + 5 x + 4 x 3 + x 2 - 3

= 1 + 3 x 2 + 5 x + 4 x 3 + x 2 + x - 3

Aí a nossa integral fica

∫ 1 + 3 x 2 + 5 x + 4 x 3 + x 2 + x - 3 d x = ∫ 1   d x + ∫ 3 x 2 + 5 x + 4 x 3 + x 2 + x - 3 d x

A primeira integral é tranquila, né? Fica assim

∫ 1   d x = x

Já a segunda vai dar mais trabalho. Primeiro temos que trabalhar um pouco nela. Agora temos que fatorar o denominador:

x 3 + x 2 + x - 3

Passo 3

Bem, não tem uma regra para achar as raízes de um polinômio do terceiro grau. Nesse caso aqui, uma das raízes é 1 ! Como eu sei disso? Eu chutei hahaha. Bons candidatos pra casos como esse são 1 e - 1 :)

Então esse polinômio no denominador pode ser escrito da seguinte maneira

x - 1 a x 2 + b x + c

Expandindo, vamos ter:

a x 3 + b x 2 + c x - a x 2 - b x - c

= a x 3 + b - a x 2 + c - b x - c

Comparando com x 2 + x 2 + x - 3 , vamos ter:

- o termo independente:

- c = - 3

→ c = 3

- o termo x 1 :

c - b = 1

→ 3 - b = 1

→ b = 2

- e o termo x 3 :

a = 1

Então, vamos ter:

x 3 + x 2 + x - 3

= x - 1 x 2 + 2 x + 3

E o polinômio do segundo grau acima tem discriminante Δ = 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = - 8 < 0 , ou seja, esse cara não tem raízes reais, então não dá pra reduzir mais o grau.

Assim, a nossa integral vai ficar:

x + ∫ 3 x 2 + 5 x + 4 x - 1 x 2 + 2 x + 3 d x

Passo 4

Agora temos que recorrer as frações parciais. Então, decompondo nossa função na segunda integral, vamos ter:

3 x 2 + 5 x + 4 ( x - 1 ) ( x 2 + 2 x + 3 ) = a 0 x - 1 + a 2 x + a 1 x 2 + 2 x + 3

Multiplicando os dois lados por ( x - 1 ) ( x 2 + 2 x + 3 ) , temos:

3 x 2 + 5 x + 4 = a 0 ( x 2 + 2 x + 3 ) + a 2 x + a 1 x - 1

Se x = 1 , teremos:

3 + 5 + 4 = a 0 1 + 2 + 3 + a 2 1 + a 1 1 - 1

12 = a 0 6 + 0

a 0 = 2

Substituindo a 0 = 2 e expandindo a nossa equação, vamos ter:

3 x 2 + 5 x + 4 = 2 ( x 2 + 2 x + 3 ) + a 2 x 2 - a 2 x + a 1 x - a 1

Simplificando os termos semelhantes:

x 2 + x - 2 = a 2 x 2 + a 1 - a 2 x - a 1

Agora igualando os coeficientes, temos:

a 2 = 1

e

- a 1 = - 2

Logo,

→ a 1 = 2

Passo 5

Substituindo esses coeficientes na integral, vamos ficar com:

x + ∫ x + 2 x 2 + 2 x + 3 + 2 x - 1 d x

A gente pode separar em duas integrais:

x + ∫ x + 2 x 2 + 2 x + 3 d x + ∫ 2 x - 1 d x

Para a primeira integral, vamos completar o quadrado no denominador:

x 2 + 2 x + 3 - 2 + 2 = x + 1 2 + 2

Assim, a gente pode fazer a substituição:

u = x + 1

d u = d x

Então, nossa integral vai ficar:

∫ x + 2 x 2 + 2 x + 3 d x = ∫ x + 2 x + 1 2 + 2 d x

= ∫ u + 1 u 2 + 2 d u

Separando essa fração em duas integrais:

= ∫ u u 2 + 2 d u + ∫ 1 u 2 + 2 d u

Na primeira integral vamos fazer outra substituição:

u 2 + 2 = y

d y 2 = u   d u

Assim, ficamos com:

∫ u u 2 + 2 d u = ∫ 1 2 y d y

E integrando em relação a y , temos:

= 1 2 ln ⁡ y

Voltando pra variável u :

= 1 2 ln ⁡ ( u 2 + 2 )

E finalmente, voltando pra variável x , temos:

= 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + 2

Então, o resultado dessa integral é:

∫ u u 2 + 2 d u = 1 2 ln ⁡ x 2 + 2 x + 3

Passo 6

Pra resolver nossa próxima integral, vamos rescrever u 2 + 2 = 2 u 2 2 + 1 . Assim, vamos ter:

∫ d u u 2 + 2 = 1 2 ∫ d u u 2 2 + 1

A partir disso, a gente pode usar uma substituição trigonométrica:

u 2 = t g   θ

d u   = 2     sec 2 ⁡ θ   d θ

Então, ficamos com:

2 2 ∫ sec 2 ⁡ θ t g   θ 2 + 1 d θ

Usando a identidade trigonométrica sec 2 ⁡ θ = tan 2 ⁡ θ + 1 , temos:

= 2 2 ∫ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

E simplificando:

= 2 2   θ

Agora voltando pra variável u , vamos ter:

arctan ⁡ u 2 =   θ

E u = x + 1 . Então, temos que:

1 2 ∫ 1 u 2 2 + 1 d u = 2 2 arctan ⁡ x + 1 2

Então, juntando as duas integrais, temos:

∫ x + 2 x 2 + 2 x + 3 d x = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 2 x + 3 ) + 2 2   arctan ⁡ x + 1 2

Passo 7

Por último, temos a integral:

∫ 2 x - 1 d x

Aqui, nós podemos fazer a seguinte substituição:

x - 1 = v

d v = d x

Assim, ficamos com:

∫ 2 x - 1 d x = 2 ∫ 1 v d v

E integrando em relação a v , temos:

= ln ⁡ v

Agora voltando pra variável x , ficamos com:

= 2 ln ⁡ ( x - 1 )

Passo 8

Agora basta juntar tudo para gente obter nossa resposta final:

∫ x 3 + 4 x 2 + 6 x + 1 x 3 + x 2 + x - 3 d x

= x + 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 2 x + 3 ) + 2 2 arctan ⁡ x + 1 2 + 2 ln ⁡ ( x - 1 ) + C

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x + 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 2 x + 3 ) + 2 2 arctan ⁡ x + 1 2 + 2 ln ⁡ ( x - 1 ) + C

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