Determine dy/dx por derivação implícita x^2 + xy + y^2 - 5x = 2

Passo 1

Para obtermos a derivação implícita, derivamos em x ambos os lados. Ficaremos com a expressão:

d d x ( x 2 ) + d d x ( x y ) + d d x ( y 2 ) - d d x ( 5 x ) = d d x ( 2 )

Passo 2

A primeira expressão a esquerda da igualdade e a quarta, apresentam uma regra de derivação do expoente. O segundo termo à esquerda da igualdade apresenta uma derivação da multiplicação. O terceiro termo apresenta a derivação implícita de d y / d x , apresentando uma regra da cadeia. A direita da igualdade, apresenta-se uma derivada da constante a qual será nula. Assim:

2 x d x d x + d d x ( x ) ⋅ y + x ⋅ d d x ( y ) + 2 y d d x ( y ) - 5 d x d x = 0

Passo 3

Aplicando as derivadas temos que:

2 x + y + x d y d x + 2 y d y d x - 5 = 0

Passo 4

Pondo a derivada implícita em evidência, a expressão ficará:

y + 2 x + d y d x ( x + 2 y ) - 5 = 0

Podemos reescrever a expressão acima passando o y + 2 x - 5 para o lado direito.

d y d x ( x + 2 y ) =   - ( y + 2 x ) + 5

Resposta

Passando o termo ( x + 3 )   dividindo para o outro lado, o resultado será:

d y d x = 5   -   ( 2 x   +   y ) ( x   +   2 y )

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