Enunciado

Viga de temperatura desconhecida. Uma viga de alumínio é levada do frio externo para uma loja de máquinas, onde a temperatura é mantida a 65 ° F . Após 10 minutos, a temperatura da viga chega a 35 ° F , e, em outros 10 minutos, a 50 ° F . Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a temperatura inicial da viga.

Passo 1

Pelo Lei de resfriamento de Newton, temos

H - H s = ( H 0 - H s ) e - k t

Utilizando os dados fornecidos no enunciado teremos que H = 35 ° corresponde a temperatura da viga em t = 10 . Além disso, H s = 65 ° F   já que é a temperatura do ambiente. Dessa maneira,

35 - 65 = ( H 0 - 65 ) e - k ( 10 )

⇒ - 30 = H 0 - 35 e - 10 k ⇒ 2 . - 15 = H 0 - 35 e - 10 k

Por outro lado, quando em t = 20 , H = 50 ° F , daí

50 - 65 = ( H 0 - 65 ) e - k ( 10 )

⇒ - 15 = H 0 - 65 e - 20 k  

Assim,

H 0 - 35 e - 10 k = 2 H 0 - 35 e - 20 k

⇒ H 0 - 35 e - 10 k H 0 - 35 e - 20 k = 2 ⇒ e 10 k = 2

⇒ l n ⁡ ( e 10 k ) = l n ⁡ ( 2 ) ⇒ 10 k = l n ⁡ ( 2 )

⇒ k = ln ⁡ 2 10

Logo,

- 30 = H 0 - 65 e - 10 ln ⁡ 2 10

⇒ - 30 = H 0 - 65 e - ln ⁡ 2

⇒ - 30 = H 0 - 65 1 e ln ⁡ 2  

⇒ - 30 e ln ⁡ 2 = H 0 - 65

⇒ H 0 = - 30 e ln ⁡ 2 + 65 = 5

Portanto, a temperatura inicial da viga corresponde a 5 ° .

Resposta

H 0 ≈ 5

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