Enunciado

Freando um carro a tempo

Você está dirigindo em uma rodovia a uma velocidade constante de 60   m i l h a s / h o r a ( 88   p é s / s ) quando vê um acidente à frente e aciona os freios. Que desaceleração constante é necessária para frear o carro em 242 pés? Para determiná-la, siga os passos a seguir.

1. Resolva o problema de valor inicial

2. Determine o valor de t que faz com que d s / d t = 0 . (A resposta envolve k .)

3. Determine o valor de k que faz com que s = 242 para o valor de t calculado no Passo 2.

Passo 1

Seguindo os passos dados pelos enunciado, iremos primeiramente resolver o P.V.I. que nos dá as equações da desaceleração e da velocidade.

Para determinar a função real da velocidade, deve-se fazer a integral da função da aceleração e, então, descobrir a primeira constante no instante dado (quando os freios são acionados).

Da mesma forma, para determinar a função do deslocamento, deve-se fazer a integral da função da velocidade e, então, descobrir a segunda constante no instante dado (quando os freios são acionados).

Obs.: O passo 2 do item (3) do enunciado será o passo 4 da resolução.

Passo 2

Então, temos que:

d 2 s d t 2 = - k

d s d t = ∫ - k   d t = - k t + C 1

Em d s / d t = 88 , t = 0 :

d s d t = 88 = - k 0 + C 1 ∴ C 1 = 88

Logo,

d s d t = - k t + 88

Passo 3

Como d s / d t representa a função velocidade, podemos integrá-la e encontrar a função do deslocamento, tal que:

s = ∫ - k t + 88 = - k t 2 2 + 88 t + C 2

Novamente, em t = 0 , s = 0 :

0 = - k 0 2 2 + 88 0 + C 2 ∴ C 2 = 0

Então, temos que a função do deslocamento é dado por:

s = - k t 2 2 + 88 t

Passo 4

Em seguida, devemos fazer:

d s d t = 0 = - k t + 88

Para encontrar:

t = 88 k

Passo 5

Utilizando o valor de t encontrado no último passo e substituindo na equação do deslocamento, será possível encontrar o valor de k que faz com que s = 242 . Assim:

s = - k t 2 2 + 88 t = - k 88 k 2 2 + 88 88 k

242 = - 88 2 2 k + 88 2 k = 88 2 2 k ∴ k = 16

Portanto,

a = d 2 s d t 2 = - 16

Resposta

A desaceleração é de 16 m / s ² .

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