Enunciado

Determine d y // d x por derivação implícita 5 x ^(4 // 5) + 10 y ^(6 // 5) = 15

Passo 1

Para obtermos a derivação implícita, derivamos em x ambos os lados. Ficaremos com a expressão:

5 (d)/(d x) ( x ^(4 // 5) ) + 10 (d)/(d x) ( y^(6 // 5) ) = (d)/(d x) ( 15 )

Passo 2

A primeira derivada a esquerda da igualdade e a segunda apresentam uma regra de derivação do expoente, sendo que essa última apresentará a derivada implícita. A direita da igualdade, apresenta-se uma derivada da constante,que será nula. Assim:

5 (4)/(5) ( x ^(4 // 5 - 1) ) + 10 (6)/(5) ( y^(6 // 5 - 1) ) (d y)/(d x) = 0

Passo 3

Aplicando as derivadas e simplificando o termo semelhante temos que:

4 ( x ^(- 1 // 5) ) + 12 ( y^(1 // 5) ) (d y)/(d x) = 0

Passo 4

Podemos reescrever a expressão acima passando o 4 x ^(- 1 // 4) para o lado direito.

12 y^(1 // 5) (d y)/(d x) = - 4 x ^(- 1 // 5)

Resposta

Passando o termo 12 y^(1 // 5) dividindo para o outro lado, o resultado será:

(d y)/(d x) = (- 4 x ^(- 1 // 5))/(12 y^(1 // 5)) ou

(d y)/(d x) = (- 1)/(3 ( x y )^(1 // 5))

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