Determine dy/dx por derivação implícita 5x^(4/5) + 10y^(6/5) = 15

Passo 1

Para obtermos a derivação implícita, derivamos em x ambos os lados. Ficaremos com a expressão:

5 d d x ( x 4 / 5 ) + 10 d d x ( y 6 / 5 ) = d d x ( 15 )

Passo 2

A primeira derivada a esquerda da igualdade e a segunda apresentam uma regra de derivação do expoente, sendo que essa última apresentará a derivada implícita. A direita da igualdade, apresenta-se uma derivada da constante,que será nula. Assim:

5 4 5 ( x 4 / 5 - 1 ) + 10 6 5 ( y 6 / 5   -   1 ) d y d x = 0

Passo 3

Aplicando as derivadas e simplificando o termo semelhante temos que:

4 ( x - 1 / 5 ) + 12 ( y 1 / 5 ) d y d x = 0

Passo 4

Podemos reescrever a expressão acima passando o 4 x - 1 / 4   para o lado direito.

12 y 1 / 5 d y d x =   - 4 x - 1 / 5

Resposta

Passando o termo 12 y 1 / 5 dividindo para o outro lado, o resultado será:

d y d x = - 4 x - 1 / 5 12 y 1 / 5 ou

d y d x = - 1 3 ( x y ) 1 / 5

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