Determine a derivada.

f(x) = e^(tg(x))

Passo 1

Vamos analisar a função, temos umafunção trigonométrica em uma função exponencial, vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

y ' = d y d x = d y d u ⋅ d u d x

Onde u = g x .

Passo 2

Temos que g x é a função mais de dentro e y = f x a função mais de fora:

u = g x = tg ⁡ x

Assim:

y = f x = e u

Passo 3

Vamos agora aplicar algumas regras, vamos ter que usar a regra da função exponencial, do polinômio e da função trigonométrica, vamos dá uma olhada nelas:

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' = d y d x = d y d u ⋅ d u d x = d d u e u ⋅ d d x tg ⁡ x = e u . u ' ⋅ sec 2 ⁡ x = e u . u 1 - 1 ⋅ sec 2 ⁡ x = e u . u 0 ⋅ sec 2 ⁡ x = e u . 1 ⋅ sec 2 ⁡ x = e u sec 2 ⁡ x

Passo 4

Por último é só substituir a expressão de u e pronto:

y ' = e u sec 2 ⁡ x = e tg ⁡ x sec 2 ⁡ x

Resposta

y ' = e tg ⁡ x sec 2 ⁡ x

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